Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΓΝΩΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΓΝΩΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ

Rendered by QuickLaTeX.com

Σχόλιο
Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο P(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}) είναι οι:

    \[\mathrm{y} - \mathrm{y}_{0} = \lambda(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0}) \quad \text{ ή } \quad \mathrm{x} = \mathrm{x}_{0}.\]

Δηλαδή από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου διέρχονται δύο ειδών ευθείες. Αυτές που έχουν συντελεστή διεύθυνσης και αυτές που είναι κάθετες στον x'x για τις οποίες δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης.

Λύση
Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο P(2,3) είναι οι:

    \[(\zeta): \mathrm{x} = 2\quad \text{ ή } \quad(\zeta): \mathrm{y} - 3 = \lambda(\mathrm{x} - 2).\]

  • ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1η
    Έστω οτι απο το σημείο P(2,3) διέρχεται η κατακόρυφη ευθεία για την οποία δεν οριζεται ο συντελεστής διεύθυνσης. Τότε η ευθεία θα έχει εξίσωση

        \[(\zeta): \mathrm{x} = 2 \Leftrightarrow\]

        \[(\zeta):x-2=0\Leftrightarrow\]

        \[(\zeta): \mathrm{x} + 0 \cdot \mathrm{y} - 2 = 0.\]

    Σε αύτη την περίπτωση η ευθεία θα έχει συντελεστές:

        \[A_{\zeta}=1, \quad B_{\zeta}=0, \quad \Gamma_{\zeta} = -2.\]

    Θα βρούμε τη γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (\zeta)
    και (\epsilon): \sqrt{3} \cdot \mathrm{x} - \mathrm{y} + 2 = 0 με συντελεστές:

        \[A_{\epsilon}=\sqrt{3}, \quad B_{\epsilon}= -1, \quad \Gamma_{\epsilon} = +2.\]

    Θεωρούμε τα διανύσματα:

        \[\vec{\delta_{1}} = (-B_{\zeta}\,\, ,A_{\zeta}) \parallel (\zeta) \Rightarrow\vec{\delta_{1}} = (0,1) \parallel (\zeta)\]

    και

        \[\vec{\delta_{2}} = (-B_{\epsilon}\,\, ,A_{\epsilon}) \parallel (\epsilon) \Rightarrow\vec{\delta_{2}} = (1,\sqrt{3}) \parallel (\epsilon).\]

    Έχουμε:

        \begin{align*} \sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) = & \dfrac{\vec{\delta_{1}} \cdot \vec{\delta_{2}}}{\lvert\vec{\delta_{1}}\rvert \lvert \vec{\delta_{2}\rvert}} \\\\ = & \dfrac{x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}} \\\\\ = & \dfrac{0 \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{0^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}}}\\\\ = & \dfrac{0 + \sqrt{3}}{\sqrt{ 1} \cdot \sqrt{1 + 3}}= \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

    Δυλαδή \sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} οπότε έχουμε την οξεία γωνία (\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) = 30^{\circ}, οπότε και οι ευθείες:

        \[(\zeta): \mathrm{x} = 2 \quad \text{ και} \quad (\epsilon): \sqrt{3} \cdot \mathrm{x} - \mathrm{y} + 2 = 0\]

    σχηματίζουν οξεία γωνία \omega = 30^{\circ}.
    Επομένως η ευθεία (\zeta): \mathrm{x} = 2 αποτελεί λύση του προβλήματος.

    ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΓΝΩΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ
  • Σχόλιο

    Αν έχουμε ώς δεδομένο ότι οι ευθείες:

        \[\epsilon_{1}: A_{1}\mathrm{x} + B_{1}\mathrm{y} + \Gamma_{1} = 0\]

    και

        \[\epsilon_{2}: A_{2}\mathrm{x} + B_{2}\mathrm{y} + \Gamma_{2} = 0\]

    σχηματίζουν γωνία \omega, τότε για τα διανύσματα:

        \[\vec{\delta_{1}} = (-B_{1}, A_{1}) \parallel \epsilon_{1}\]

    και

        \[\vec{\delta_{2}} = (-B_{2}, A_{2}) \parallel \epsilon_{2}\]

    μπορεί να ισχύει ότι:

        \[\sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) = \omega \quad \text{ή} \quad \sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) =180^{\circ} - \omega\]

    ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΓΝΩΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ
  • ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2η
    Έστω η ευθεία:

        \[(\zeta): \mathrm{y} - 3 = \lambda(\mathrm{x} - 2) \Leftrightarrow\]

        \[(\zeta):\lambda \mathrm{x} - \mathrm{y} + 3 -2\lambda = 0\]

    Σε αύτη την περίπτωση η ευθεία θα έχει συντελεστές:

        \[A_{\zeta}=\lambda, \quad B_{\zeta}=-1, \quad \Gamma_{\zeta} = 3-2\lambda.\]

    Θα βρούμε τη γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (\zeta)
    και (\epsilon): \sqrt{3} \cdot \mathrm{x} - \mathrm{y} + 2 = 0 με συντελεστές:

        \[A_{\epsilon}=\sqrt{3}, \quad B_{\epsilon}= -1, \quad \Gamma_{\epsilon} = +2.\]

    Θεωρούμε τα διανύσματα:

        \[\vec{\delta_{3}} = (-B_{\zeta}\,\, ,A_{\zeta}) \parallel (\zeta) \Rightarrow \vec{\delta_{3}} = (1,\lambda) \parallel (\zeta)\]

    και

        \[\vec{\delta_{2}} = (-B_{\epsilon}\,\, ,A_{\epsilon}) \parallel (\epsilon) \Rightarrow\vec{\delta_{2}} = (1,\sqrt{3}) \parallel (\epsilon).\]

    Αφού οι ευθείες \epsilon και \zeta σχηματίζουν γωνία 30^{\circ}, για τα διανύσματα \vec{\delta_{2}} και \vec{\delta_{3}} θα ισχύει ότι:

        \[(\widehat{\vec{\delta_{2}}, \vec{\delta}_{3}}) = 30^{\circ} \quad \text{ή} \quad (\widehat{\vec{\delta_{2}}, \vec{\delta}_{3}}) = 180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}\]

    οπότε θα έχουμε:

        \[\sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{2}}, \vec{\delta}_{3}}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{ή} \quad \sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{2}}, \vec{\delta}_{3}})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]

    ή αλλίως απο τις ιδιότητες της απολύτης τιμής θα έχουμε:

        \[\lvert \sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{2}}, \vec{\delta}_{3}}) \rvert = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow\]

        \[\left\lvert \frac{\vec{\delta_{2}} \cdot \vec{\delta_{3}}}{\lvert\vec{\delta_{2}}\rvert \lvert \vec{\delta_{3}\rvert}} \right\rvert = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad (1)\]

    Όμως είναι:

        \begin{align*} \bullet \quad \vec{\delta_{2}} \cdot \vec{\delta_{3}} =& x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}\\\ =&(1,\sqrt{3}) \cdot (1,\lambda)\\\\ =& 1 + \lambda\sqrt{3} \end{align*}

        \begin{align*} \bullet \quad \lvert\vec{\delta_{2}}\rvert =& \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\\\\ =& \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = 2 \end{align*}

        \begin{align*} \bullet \quad \lvert \vec{\delta_{3}}\rvert =& \sqrt{x_{3}^{2}+y_{3}^{2}}\\\\ =& \sqrt{1^{2} + \lambda^{2}} \\\ =& \sqrt{\lambda^2 + 1} \end{align*}

    Επομένως έχουμε:

        \[(1): \quad \left\lvert \frac{\vec{\delta_{2}} \cdot \vec{\delta_{3}}}{\lvert\vec{\delta_{2}}\rvert \lvert \vec{\delta_{3}\rvert}} \right\rvert = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

        \[\Leftrightarrow \frac{\lvert 1 + \lambda \sqrt{3}\rvert}{2\sqrt{\lambda^{2} + 1}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

        \[\Leftrightarrow 2\cdot \frac{\lvert 1 + \lambda \sqrt{3}\rvert}{2\sqrt{\lambda^{2} + 1}} = {\sqrt{3}}\]

        \[\Leftrightarrow \frac{\lvert 1 + \lambda \sqrt{3}\rvert}{\sqrt{\lambda^{2} + 1}} = {\sqrt{3}}\]

        \[\Leftrightarrow \lvert 1 + \lambda \sqrt{3} \rvert = \sqrt{3} \cdot \sqrt{\lambda^{2} + 1}\]

        \[\Leftrightarrow \lvert 1 + \lambda\sqrt{3}\rvert^{2} = (\sqrt{3} \cdot \sqrt{\lambda^{2} + 1})^{2}\]

        \[\Leftrightarrow (1+\lambda\sqrt{3})^{2} = 3(\lambda^2 + 1)\]

        \[\Leftrightarrow 1 + 2\sqrt{3} \cdot \lambda + 3\lambda^{2} = 3\lambda^{2} + 3\]

        \[\Leftrightarrow 1 + 2\sqrt{3} \cdot \lambda = + 3\]

        \[\Leftrightarrow 2\sqrt{3} \cdot \lambda = 2 \Leftrightarrow \lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

        \[\Leftrightarrow \lambda = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

    ¶ρα η ζητούμενη ευθεία

        \[(\zeta):\lambda \mathrm{x} - \mathrm{y} + 3 -2\lambda = 0\]

    Για \lambda = \dfrac{\sqrt{3}}{3} έχει εξίσωση:

        \[(\zeta):\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \mathrm{x} - \mathrm{y} + 3 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 0 \Leftrightarrow\]

        \[(\zeta):\sqrt{3} \cdot \mathrm{x} - 3 \mathrm{y} + 9 -2 \sqrt{3} = 0.\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *