ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Για να βρούμε τη σχετική θέση δύο ευθειών, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους. Συγκεκριμένα:

$\bullet$ Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, τότε οι δύο ευθείες τέμνονται (δηλαδή έχουν μοναδικό κοινό σημείο).

$\bullet$ Αν το σύστημα είναι αδύνατο, τότε οι ευθείες δεν έχουν κοινά σημεία, δηλαδή είναι παράλληλες.

$\bullet$ Αν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, τότε οι ευθείες ταυτίζονται.

ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Αν οι εξισώσεις των ευθειών είναι παραμετρικές, τότε για να λύσουμε το σύστημά τους, επιλέγουμε τη μέθοδο των οριζουσών.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών $\epsilon_{1}$ και $\epsilon_{2}:$

$\left\{\begin{array}{c}{\lambda \mathrm{x} + (\lambda-1) \mathrm{y} = 2 \lambda} \\\\ {(\lambda+1) \mathrm{x} + \lambda \mathrm{y} = 2 \lambda+1}\end{array}\right\} (\Sigma)$

Η ορίζουσα του συστήματος $(\Sigma)$ είναι:

$\mathrm{D}=\left|\begin{array}{cc}{\lambda} & {\lambda-1} \\ {\lambda+1} & {\lambda}\end{array}\right|=$

$\lambda^{2}-(\lambda+1)(\lambda-1)=$

$\lambda^{2}-(\lambda^{2}-1^{2})=\lambda^{2}-\lambda^{2}+1=1 \neq 0$

Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση $\forall ~\lambda \in \mathbb{R}.$

Επομένως $\forall ~\lambda \in \mathbb{R}$ οι ευθείες $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ τέμνονται (έχουν μοναδικό κοινό σημείο).
Οι συντεταγμένες του σημείου τομής είναι οι λύσεις του συστήματος $(\Sigma)$ που ορίζουν οι δύο ευθείες.
Επίσης για το σύστημα $(\Sigma)$ ισχύουν:

$\bullet$ Η ορίζουσα του συστήματος $(\Sigma)$ ως προς $x$

$\mathrm{D}_{\mathrm{x}}=\left|\begin{array}{cc}{2 \lambda} & {\lambda-1} \\\\ {2 \lambda+1} & {\lambda}\end{array}\right|=$

$=2 \lambda^{2}-(\lambda-1)(2 \lambda+1)=$

$=2 \lambda^{2}-(2 \lambda^{2}-2 \lambda+\lambda-1)=$

$=2 \lambda^{2}-2 \lambda^{2}+2 \lambda-\lambda+1=\lambda+1$

$\bullet$ Η ορίζουσα του συστήματος $(\Sigma)$ ως προς $y$

$\mathrm{D}_{\mathrm{y}}=\left|\begin{array}{cc}{\lambda} & {2 \lambda} \\ {\lambda+1} & {2 \lambda+1}\end{array}\right|=$

$=\lambda(2 \lambda+1)-2 \lambda(\lambda+1)=$

$=2 \lambda^{2}+\lambda-2 \lambda^{2}-2 \lambda=-\lambda$

Επομένως είναι:

$\mathrm{x} = \dfrac{\mathrm{D}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{D}} = \dfrac{\lambda+ 1 }{1} = \lambda + 1$

και

$\mathrm{y} = \dfrac{\mathrm{D}_{\mathrm{y}}}{\mathrm{D}} = \dfrac{-\lambda}{1} = -\lambda$

Άρα το σημείο τομής των ευθειών $\epsilon_{1}$ και $\epsilon_{2}$ είναι το $Μ(\lambda + 1, -\lambda).$
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ
Έχουμε

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x} = \lambda+1} \\\\ {\mathrm{y} = -\lambda}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{c}{\lambda = \mathrm{x} - 1} \\\\ {\mathrm{y} = -(\mathrm{x} - 1)}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{\lambda = \mathrm{x} - 1} \\ {\mathrm{y} = -\mathrm{x} + 1}\end{array}\right.$

Άρα το σημείο $Μ$ κινείται πάνω στην ευθεία $\zeta: \mathrm{y} = -\mathrm{x} + 1.$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά