ΤΟ ΟΡΙΟ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΚΑΙ ΥΠΑΡΧΕΙ

ΤΟ ΟΡΙΟ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΚΑΙ ΥΠΑΡΧΕΙ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

ΑΣΚΗΣΗ
Έστω $f:[0, \frac{\pi}{2}] \to \rr,$ ώστε $\sqrt{1-x^{2}} \leq f(x) \leq \syn x$ για κάθε $[0, \frac{\pi}{2}]$
1) Να αποδείξετε ότι υπάρχει το $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)$ και ισούται με $1.$
2) Να βρείτε την τιμή του ορίου $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f^{2}(x)-1}{x-1}.$
3) Αν υπάρχει το όριο $l = \displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}f(x),$
να αποδείξετε ότι $l \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
4) Να βρείτε την τιμή του ορίου
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f\bigg( \dfrac{x}{x^{2}+1} \bigg).$