ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

Print Friendly, PDF & Email

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

Για να αποδείξουμε ότι μια παραμετρική εξίσωση παριστάνει ευθείες που διέρχονατι από το ίδιο σημείο (ανεξάρτητο της παραμέτρου), εργαζόμαστε με έναν από τους τρόπους που ακολουθούν:
1ος τρόπος

\bullet Θεωρούμε Μ(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}) το κοινό σημείο.

\bullet Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του στην εξίσωση.

\bullet Μετατρέπουμε την εξίσωση που προκύπτει σε πολυωνυμική με άγνωστο την παράμετρο.

\bullet Για να αληθεύει η προηγούμενη εξίσωση για οοιαδήποτε τιμή της παραμέτρου, πρέπει οι συντελεστές του πολυωνύμου να είναι όλοι ίσοι με το μηδέν.

\bulletΑπό τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε τα \mathrm{x}_{0} και \mathrm{y}_{0}.

2ος τρόπος

\bullet Δίνουμε στην παράμετρο δύο τυχαίες τιμές και προκύπτουν δύο ευθείες.

\bullet Βρίσκουμε το σημείο τομής Μ των παραπάνω ευθείων.

\bullet Ελέγχουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου Μ επαληθεύουν την παραμετρική εξίσωση για κάθε τιμή της παραμέτρου.

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Αρχικά θα εξετάσουμε αν υπάρχουν τιμές του α \in \mathbb{R}, ώστε η δοσμένη εξίσωση να μην παριστάνει ευθεία.

\boldsymbol{(2α^2 + α + 3)\mathrm{x} + (α^2 - α + 1)\mathrm{y} + 3α + 1 = 0, \qquad α \in} \mathbb{R}

Αυτό συμβαίνει όταν:

(Α = 0) και Β = 0 \Leftrightarrow (2α^2 + α + 3 = 0 και α^2 - α + 1 = 0).

Για την πρώτη εξίσωση έχουμε:
2\alpha^{2}+\alpha +3 =0, με διακρίνουσα \Delta = 1^{2}-4\cdot 2\cdot 3=-23<0.

Για την δεύτερη εξίσωση έχουμε:
\alpha^{2}-\alpha + 1 = 0, με διακρίνουσα \Delta = (-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-3<0.
Παρατηρούμε ότι η πρώτη (και η δε’υτερη) εξίσωση είναι αδύνατη.

Άρα η εξίσωση:

(2α^2 + α + 3)\mathrm{x} + (α^2 - α + 1)\mathrm{y} + 3α + 1 = 0 \qquad (1)

παριστάνει ευθεία για κάθε α \in \mathbb{R}.

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι όλες οι ευθείες που έχουν την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από το ίδιο σημείο με έναν από τους τρόπους που ακολουθούν:

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

1ος τρόπος
Έστω ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο Μ(\mathrm{x}_{0},\mathrm{y}_{0}). Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου Μ επαληθεύουν την εξίσωση (1) για κάθε α \in \mathbb{R}. Δηλαδή για κάθε α \in \mathbb{R} ισχύει:

    \[(2α^2 + α + 3)\mathrm{x}_{0} + (α^2 - α + 1)\mathrm{y}_{0} + 3α + 1 = 0 \Leftrightarrow\]


    \[2α^{2}\mathrm{x}_{0} + α\mathrm{x}_{0} + 3\mathrm{x}_{0} + α^2 \mathrm{y}_{0} - α \mathrm{y}_{0} + \mathrm{y}_{0} + 3α + 1 = 0 \Leftrightarrow\]


    \[(2\mathrm{x}_{0} + \mathrm{y}_{0})α^2 + (\mathrm{x}_{0} - \mathrm{y}_{0} + 3)α + 3\mathrm{x}_{0} + \mathrm{y}_{0} + 1 = 0\]

Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε α \in \mathbb{R}, αν και μόνο αν:

    \[\left\{\begin{array}{l}{2 \mathrm{x}_{0}+\mathrm{y}_{0}=0} \qquad (2) \\ {\mathrm{x}_{0}-\mathrm{y}_{0}+3=0} \qquad (3) \\ {3 \mathrm{x}_{0}+\mathrm{y}_{0}+1=0} \qquad (4) \end{array}\right.\]

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (2) και (3) βρίσκουμε ότι:

    \[\mathrm{x}_{0} = -1 \quad \text{και}\quad \mathrm{y}_{0} = 2\]

οι τιμές αυτές επαληθεύουν και την εξίσωση (4).
Άρα όλες οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση (1) διέρχονται από το σημείο Μ(1, -2).

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

2ος τρόπος
Για α = 0 προκύπτει η ευθεία:

    \[(\epsilon_{1}): 3 \mathrm{x} + \mathrm{y} + 1 = 0\]

Για α = 1 προκύπτει η ευθεία:

    \[(\epsilon_{2}): 6 \mathrm{x} + \mathrm{y} + 4 = 0\]

Το σημείο τομής των ευθειών (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}) έχει συντεταγμένες το σύστημα των εξισώσεών τους:

    \[\left\{\begin{array}{l}{(\epsilon_{1}):3 \mathrm{x} + \mathrm{y} + 1 = 0} \\ {(\epsilon_{2}):6 \mathrm{x} + \mathrm{y} + 4 = 0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x} = -1} \\ {\mathrm{y} = 2}\end{array}\right.\]

Επομένως όλες οι ευθείες \epsilon_{1} και \epsilon_{2} διέρχονατι από το σημείο Μ(-1,2).

Εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου Μ επαληθεύουν την εξίσωση (1) για κάθε α \in \mathbb{R}:

    \[(2α^2 + α + 3)\mathrm{x} + (α^2 - α + 1)\mathrm{y} + 3α + 1 = 0 \qquad (1)\]


για x=-1 και y=2 έχουμε:

    \[(2 α^{2} + α + 3) (-1) + (α^{2} - α+1) \cdot 2 + 3 α + 1 = 0 \Leftrightarrow\]


    \[-2 α^{2} - α - 3 + 2 α^{2} - 2 α + 2 + 3 α + 1 =0 \Leftrightarrow\]


    \[α^{2} + 2 α^{2} - α - 2 α + 3 α - 3 + 2 + 1 = 0 \Leftrightarrow\]


    \[0=0,\]


που ισχύει.
Άρα όλες οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση (1) διέρχονατι από το σημείο Μ(-1,2).

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *