ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

Για να αποδείξουμε ότι μια παραμετρική εξίσωση παριστάνει ευθείες που διέρχονατι από το ίδιο σημείο (ανεξάρτητο της παραμέτρου), εργαζόμαστε με έναν από τους τρόπους που ακολουθούν:
1ος τρόπος

$\bullet$ Θεωρούμε $Μ(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0})$ το κοινό σημείο.

$\bullet$ Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του στην εξίσωση.

$\bullet$ Μετατρέπουμε την εξίσωση που προκύπτει σε πολυωνυμική με άγνωστο την παράμετρο.

$\bullet$ Για να αληθεύει η προηγούμενη εξίσωση για οοιαδήποτε τιμή της παραμέτρου, πρέπει οι συντελεστές του πολυωνύμου να είναι όλοι ίσοι με το μηδέν.

$\bullet$ Από τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε τα $\mathrm{x}_{0}$ και $\mathrm{y}_{0}.$

2ος τρόπος

$\bullet$ Δίνουμε στην παράμετρο δύο τυχαίες τιμές και προκύπτουν δύο ευθείες.

$\bullet$ Βρίσκουμε το σημείο τομής $Μ$ των παραπάνω ευθείων.

$\bullet$ Ελέγχουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου $Μ$ επαληθεύουν την παραμετρική εξίσωση για κάθε τιμή της παραμέτρου.

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Αρχικά θα εξετάσουμε αν υπάρχουν τιμές του α $\in \mathbb{R},$ ώστε η δοσμένη εξίσωση να μην παριστάνει ευθεία.

$\boldsymbol{(2α^2 + α + 3)\mathrm{x} + (α^2 - α + 1)\mathrm{y} + 3α + 1 = 0, \qquad α \in} \mathbb{R}$

Αυτό συμβαίνει όταν:

$(Α = 0)$ και $Β = 0 \Leftrightarrow (2α^2 + α + 3 = 0$ και $α^2 - α + 1 = 0).$

Για την πρώτη εξίσωση έχουμε:
$2\alpha^{2}+\alpha +3 =0,$ με διακρίνουσα $\Delta = 1^{2}-4\cdot 2\cdot 3=-23<0.$

Για την δεύτερη εξίσωση έχουμε:
$\alpha^{2}-\alpha + 1 = 0,$ με διακρίνουσα $\Delta = (-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-3<0.$
Παρατηρούμε ότι η πρώτη (και η δε’υτερη) εξίσωση είναι αδύνατη.

Άρα η εξίσωση:

$(2α^2 + α + 3)\mathrm{x} + (α^2 - α + 1)\mathrm{y} + 3α + 1 = 0 \qquad (1)$

παριστάνει ευθεία για κάθε $α \in \mathbb{R}.$

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι όλες οι ευθείες που έχουν την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από το ίδιο σημείο με έναν από τους τρόπους που ακολουθούν:

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

1ος τρόπος
Έστω ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο $Μ(\mathrm{x}_{0},\mathrm{y}_{0}).$ Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου $Μ$ επαληθεύουν την εξίσωση (1) για κάθε $α \in \mathbb{R}.$ Δηλαδή για κάθε $α \in \mathbb{R}$ ισχύει:

$(2α^2 + α + 3)\mathrm{x}_{0} + (α^2 - α + 1)\mathrm{y}_{0} + 3α + 1 = 0 \Leftrightarrow$

$2α^{2}\mathrm{x}_{0} + α\mathrm{x}_{0} + 3\mathrm{x}_{0} + α^2 \mathrm{y}_{0} - α \mathrm{y}_{0} + \mathrm{y}_{0} + 3α + 1 = 0 \Leftrightarrow$

$(2\mathrm{x}_{0} + \mathrm{y}_{0})α^2 + (\mathrm{x}_{0} - \mathrm{y}_{0} + 3)α + 3\mathrm{x}_{0} + \mathrm{y}_{0} + 1 = 0$

Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε $α \in \mathbb{R},$ αν και μόνο αν:

$\left\{\begin{array}{l}{2 \mathrm{x}_{0}+\mathrm{y}_{0}=0} \qquad (2) \\ {\mathrm{x}_{0}-\mathrm{y}_{0}+3=0} \qquad (3) \\ {3 \mathrm{x}_{0}+\mathrm{y}_{0}+1=0} \qquad (4) \end{array}\right.$

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (2) και (3) βρίσκουμε ότι:

$\mathrm{x}_{0} = -1 \quad \text{και}\quad \mathrm{y}_{0} = 2$

οι τιμές αυτές επαληθεύουν και την εξίσωση (4).
Άρα όλες οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση (1) διέρχονται από το σημείο $Μ(1, -2).$

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

2ος τρόπος
Για $α = 0$ προκύπτει η ευθεία:

$(\epsilon_{1}): 3 \mathrm{x} + \mathrm{y} + 1 = 0$

Για $α = 1$ προκύπτει η ευθεία:

$(\epsilon_{2}): 6 \mathrm{x} + \mathrm{y} + 4 = 0$

Το σημείο τομής των ευθειών $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ έχει συντεταγμένες το σύστημα των εξισώσεών τους:

$\left\{\begin{array}{l}{(\epsilon_{1}):3 \mathrm{x} + \mathrm{y} + 1 = 0} \\ {(\epsilon_{2}):6 \mathrm{x} + \mathrm{y} + 4 = 0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x} = -1} \\ {\mathrm{y} = 2}\end{array}\right.$

Επομένως όλες οι ευθείες $\epsilon_{1}$ και $\epsilon_{2}$ διέρχονατι από το σημείο $Μ(-1,2).$

Εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου $Μ$ επαληθεύουν την εξίσωση (1) για κάθε $α \in \mathbb{R}:$

$(2α^2 + α + 3)\mathrm{x} + (α^2 - α + 1)\mathrm{y} + 3α + 1 = 0 \qquad (1)$

για $x=-1$ και $y=2$ έχουμε:

$(2 α^{2} + α + 3) (-1) + (α^{2} - α+1) \cdot 2 + 3 α + 1 = 0 \Leftrightarrow$

$-2 α^{2} - α - 3 + 2 α^{2} - 2 α + 2 + 3 α + 1 =0 \Leftrightarrow$

$α^{2} + 2 α^{2} - α - 2 α + 3 α - 3 + 2 + 1 = 0 \Leftrightarrow$

$0=0,$

που ισχύει.
Άρα όλες οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση (1) διέρχονατι από το σημείο $Μ(-1,2).$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά