ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Print Friendly, PDF & Email

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Η εξίσωση

    \[\boldsymbol{A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma} \text{ με } \, \boldsymbol{A \neq 0} \,\text{ή} \,\boldsymbol{B \neq 0}\]

Θεώρημα
Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής:

    \[A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 \text{ με} A \neq 0\,\, \text{ ή }\,\, B \neq 0 \qquad (1)\]

και αντίστροφα, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή.

Απόδειξη

Ευθύ
Έστω (\epsilon) μια ευθεία στο Καρτεσιανό επίπεδο. Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις:

\bullet Αν η ευθεία (\epsilon) έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο \Sigma(0,\beta),

τότε έχει εξίσωση: \mathrm{y} = \lambda\mathrm{x} + \beta η οποία γράφεται:

    \[\lambda\mathrm{x} + (-1)\mathrm{y} + \beta = 0\]

Δηλαδή είναι της μορφής A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0
με Α = \lambda, B = -1 \neq 0 και \Gamma = \beta.

\bullet Αν η ευθεία (\epsilon) είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο P(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}), τότε έχει εξίσωση: \mathrm{x} = \mathrm{x}_{0} η οποία γράφεται:

τότε έχει εξίσωση: \mathrm{x} = \mathrm{x}_{0} η οποία γράφεται:

    \[\mathrm{x} + 0 \cdot \mathrm{y} - \mathrm{x}_{0} = 0\]

Δηλαδή είναι της μορφής A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0
με Α = 1 \neq 0, B = 0 και \Gamma = -\mathrm{x}_{0}.

Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση της ευθείας (\epsilon) παίρνει τη μορφή:

    \[A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ με $A \neq 0$ ή $B \neq 0\]

 

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Αντίστροφο

Θα αποδείξουμε ότι κάθε εξίσωση της μορφής:

    \[A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 \text{ με} \,\, A \neq 0 \text{ ή } \, B \neq 0\]

παριστάνει ευθεία. Έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

\bullet Αν B \neq 0, τότε η εξίσωση γράφεται:

    \[B\mathrm{y} = - A\mathrm{x} - \Gamma \Leftrightarrow \mathrm{y} = -\frac{A}{B} \mathrm{x} - \frac{\Gamma}{B}\]

η οποία είναι εξίσωση ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda = - \frac{A}{B}
και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο \Sigma(0,-\dfrac{\Gamma}{B}).

\bullet Αν B = 0, τότε από την υπόθεση Α \neq 0 και η εξίσωση γράφεται:

    \[A\mathrm{x} + \Gamma = 0 \Leftrightarrow A\mathrm{x} = - \Gamma \Leftrightarrow \mathrm{x} = -\frac{\Gamma}{A}\]

η οποία είναι εξίσωση ευθείας κάθετης στον άξονα x'x στο σημείο του P\left(-\frac{\Gamma}{A},0\right).

Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 με A \neq 0 ή B \neq 0 παριστάνει ευθεία.

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Από το παραπάνω θεώρημα προκύπτουν οι εξής επισημάνσεις:

1) Η εξίσωση A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0:

\bullet παριστάνει ευθεία, αν και μόνο αν A \neq 0 ή B \neq 0,
\bullet δεν παριστάνει ευθεία, αν και μόνο αν A = 0 και B = 0.

2) Αν B \neq 0, τότε η ευθεία A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης:

    \[\color{red}\lambda = -\frac{A}{B}\]

3) Η εξίσωση A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 με A \neq 0 ή B \neq 0 παριστάνει ευθεία:

\bullet παράλληλη στον άξονα x'x, αν και μόνο αν Α = 0 και B \neq 0,
\bullet παράλληλη στον άξονα y'y, αν και μόνο αν Β = 0 και Α \neq 0.

Μεθοδολογία
Έστω μια εξίσωση της μορφής:

    \[A(\lambda)\cdot \mathrm{x} + B(\lambda)\cdot \mathrm{y} + \Gamma = 0.\]

Για να βρούμε για ποιες τιμές του \lambda \in \mathbb{R} η εξίσωση παριστάνει ευθεία, εργαζόμαστε ως εξής:

\bullet Βρίσκουμε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων:

    \[Α(\lambda) = 0 \, \text{ και}\, Β(\lambda) = 0.\]

Αλγεβρικά η παραπάνω πρόταση ορίζεται ως εξής:

    \[\Big[Α(\lambda)\Big]^{2}+\Big[B(\lambda)\Big]^{2}=0\]

ή αλλίως ώς:

    \[\Big|Α(\lambda)\Big|+\Big|B(\lambda)\Big|=0\]


\bullet Για τις παραπάνω τιμές του \lambda η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, οπότε για οποιεσδήποτε άλλες τιμές του \lambda παριστάνει ευθεία.

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
Η εξίσωση:

    \[\boldsymbol{(\lambda^2 + 2\lambda - 8)\mathrm{x} + (\lambda^2 - 4)\mathrm{y} + \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \qquad (1)}\]

Έχει:

    \[A =\lambda^2 + 2\lambda - 8 \quad B=\lambda^2 - 4 \quad \Gamma =\lambda^2 - 5\lambda + 6.\]

Οπότε:

α) Η εξίσωση (1) δεν παριστάνει ευθεία όταν:

    \[A=0 \quad \text{ και}\quad B =0\]

Δηλαδή

    \begin{align*} &A=0 \quad \text{ και}\quad B =0 \Leftrightarrow \\\\ &|A|+|B|=0 \Leftrightarrow \\\\ &|\lambda^2 + 2 \lambda - 8 |+|\lambda^2 + 2 \lambda - 8 |=0 \Leftrightarrow \\\\ &\begin{cases} \lambda^2 + 2 \lambda - 8 = 0,\\ \text{και}\\ \lambda^2 - 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \\ &\begin{cases} {\color{red}\lambda = 2} \,\, \text{ ή } \,\, \lambda = -4 \\ \text{και}\\ {\color{red}\lambda = 2} \,\, \text{ ή } \,\, \lambda = -2 \end{cases} \Leftrightarrow{\color{red}\lambda = 2}. \end{align*}

Συνεπώς η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε \lambda \neq 2.

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

β) Η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για \lambda \neq 2 και θα είναι παράλληλη στον άξονα x'x όταν

    \[A=0 \quad \text{ και}\quad B \neq 0\]

Επειδη (απο α)για {\bf{\lambda\neq 2}} έχουμε B\neq 0
οπότε
A=0\Leftrightarrow \lambda^2 + 2 \lambda - 8 = 0 \Leftrightarrow (\lambda = 2 ή \lambda = -4).

Δεκτή είναι η τιμή \lambda = -4.

γ) Η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για \lambda \neq 2 και θα είναι παράλληλη στον άξονα y'y όταν

    \[A\neq 0 \quad \text{ και}\quad B = 0\]

Επειδη (απο α)για {\bf{\lambda\neq 2}} έχουμε A\neq 0
οπότε
Β=0 \Leftrightarrow \lambda^2 - 4= 0 \Leftrightarrow \lambda = \pm 2
Δεκτή είναι η τιμή \lambda = -2.

δ) Η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για \lambda \neq 2 και διέρχεται από την αρχή Ο(0,0) όταν οι συντεταγμένες του O επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, για κάθε \lambda \neq 2.
Οπότε για x=0, \,\, y=0 η εξίσωση (1) γίνεται:

    \[(\lambda^2 + 2\lambda - 8) \cdot 0 + (\lambda^2 - 4) \cdot 0 + \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \Leftrightarrow\]

    \[0+0+\lambda^2 - 5 \lambda + 6 = 0 \Leftrightarrow\]

    \[\lambda^2 - 5 \lambda + 6 = 0 \Leftrightarrow\lambda = 2 \,\, \text{ή} \,\,\lambda = 3.\]

Δεκτή είναι η τιμή \lambda = 3.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *