ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Η εξίσωση

$\boldsymbol{A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma} \text{ με } \, \boldsymbol{A \neq 0} \,\text{ή} \,\boldsymbol{B \neq 0}$

Θεώρημα
Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής:

$A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 \text{ με} A \neq 0\,\, \text{ ή }\,\, B \neq 0 \qquad (1)$

και αντίστροφα, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή.

Απόδειξη

Ευθύ
Έστω $(\epsilon)$ μια ευθεία στο Καρτεσιανό επίπεδο. Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν η ευθεία $(\epsilon)$ έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $\Sigma(0,\beta),$

τότε έχει εξίσωση: $\mathrm{y} = \lambda\mathrm{x} + \beta$ η οποία γράφεται:

$\lambda\mathrm{x} + (-1)\mathrm{y} + \beta = 0$

Δηλαδή είναι της μορφής $A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$
με $Α = \lambda, B = -1 \neq 0$ και $\Gamma = \beta.$

$\bullet$ Αν η ευθεία $(\epsilon)$ είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο $P(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}),$ τότε έχει εξίσωση: $\mathrm{x} = \mathrm{x}_{0}$ η οποία γράφεται:

τότε έχει εξίσωση: $\mathrm{x} = \mathrm{x}_{0}$ η οποία γράφεται:

$\mathrm{x} + 0 \cdot \mathrm{y} - \mathrm{x}_{0} = 0$

Δηλαδή είναι της μορφής $A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$
με $Α = 1 \neq 0, B = 0$ και $\Gamma = -\mathrm{x}_{0}.$

Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση της ευθείας $(\epsilon)$ παίρνει τη μορφή:

$A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ με $A \neq 0$ ή $B \neq 0$

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Αντίστροφο

Θα αποδείξουμε ότι κάθε εξίσωση της μορφής:

$A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 \text{ με} \,\, A \neq 0 \text{ ή } \, B \neq 0$

παριστάνει ευθεία. Έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $B \neq 0,$ τότε η εξίσωση γράφεται:

$B\mathrm{y} = - A\mathrm{x} - \Gamma \Leftrightarrow \mathrm{y} = -\frac{A}{B} \mathrm{x} - \frac{\Gamma}{B}$

η οποία είναι εξίσωση ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda = - \frac{A}{B}$
και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $\Sigma(0,-\dfrac{\Gamma}{B}).$

$\bullet$ Αν $B = 0,$ τότε από την υπόθεση $Α \neq 0$ και η εξίσωση γράφεται:

$A\mathrm{x} + \Gamma = 0 \Leftrightarrow A\mathrm{x} = - \Gamma \Leftrightarrow \mathrm{x} = -\frac{\Gamma}{A}$

η οποία είναι εξίσωση ευθείας κάθετης στον άξονα $x'x$ στο σημείο του $P\left(-\frac{\Gamma}{A},0\right).$

Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση $A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ με $A \neq 0$ ή $B \neq 0$ παριστάνει ευθεία.

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Από το παραπάνω θεώρημα προκύπτουν οι εξής επισημάνσεις:

1) Η εξίσωση $A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0:$

$\bullet$ παριστάνει ευθεία, αν και μόνο αν $A \neq 0$ ή $B \neq 0,$
$\bullet$ δεν παριστάνει ευθεία, αν και μόνο αν $A = 0$ και $B = 0.$

2) Αν $B \neq 0,$ τότε η ευθεία $A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ έχει συντελεστή διεύθυνσης:

$\color{red}\lambda = -\frac{A}{B}$

3) Η εξίσωση $A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ με $A \neq 0$ ή $B \neq 0$ παριστάνει ευθεία:

$\bullet$ παράλληλη στον άξονα $x'x,$ αν και μόνο αν $Α = 0$ και $B \neq 0,$
$\bullet$ παράλληλη στον άξονα $y'y,$ αν και μόνο αν $Β = 0$ και $Α \neq 0.$

Μεθοδολογία
Έστω μια εξίσωση της μορφής:

$A(\lambda)\cdot \mathrm{x} + B(\lambda)\cdot \mathrm{y} + \Gamma = 0.$

Για να βρούμε για ποιες τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$ η εξίσωση παριστάνει ευθεία, εργαζόμαστε ως εξής:

$\bullet$ Βρίσκουμε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων:

$Α(\lambda) = 0 \, \text{ και}\, Β(\lambda) = 0.$

Αλγεβρικά η παραπάνω πρόταση ορίζεται ως εξής:

$\Big[Α(\lambda)\Big]^{2}+\Big[B(\lambda)\Big]^{2}=0$

ή αλλίως ώς:

$\Big|Α(\lambda)\Big|+\Big|B(\lambda)\Big|=0$

$\bullet$ Για τις παραπάνω τιμές του $\lambda$ η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, οπότε για οποιεσδήποτε άλλες τιμές του $\lambda$ παριστάνει ευθεία.

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
Η εξίσωση:

$\boldsymbol{(\lambda^2 + 2\lambda - 8)\mathrm{x} + (\lambda^2 - 4)\mathrm{y} + \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \qquad (1)}$

Έχει:

$A =\lambda^2 + 2\lambda - 8 \quad B=\lambda^2 - 4 \quad \Gamma =\lambda^2 - 5\lambda + 6.$

Οπότε:

α) Η εξίσωση (1) δεν παριστάνει ευθεία όταν:

$A=0 \quad \text{ και}\quad B =0$

Δηλαδή

$\begin{align*} &A=0 \quad \text{ και}\quad B =0 \Leftrightarrow \\\\ &|A|+|B|=0 \Leftrightarrow \\\\ &|\lambda^2 + 2 \lambda - 8 |+|\lambda^2 - 4|=0 \Leftrightarrow \\\\ &\begin{cases} \lambda^2 + 2 \lambda - 8 = 0,\\ \text{και}\\ \lambda^2 - 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \\ &\begin{cases} {\color{red}\lambda = 2} \,\, \text{ ή } \,\, \lambda = -4 \\ \text{και}\\ {\color{red}\lambda = 2} \,\, \text{ ή } \,\, \lambda = -2 \end{cases} \Leftrightarrow{\color{red}\lambda = 2}. \end{align*}$

Συνεπώς η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε $\lambda \neq 2.$

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

β) Η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για $\lambda \neq 2$ και θα είναι παράλληλη στον άξονα $x'x$ όταν

$A=0 \quad \text{ και}\quad B \neq 0$

Επειδη (απο α)για ${\bf{\lambda\neq 2}}$ έχουμε $B\neq 0$
οπότε
$A=0\Leftrightarrow \lambda^2 + 2 \lambda - 8 = 0 \Leftrightarrow (\lambda = 2$ ή $\lambda = -4).$

Δεκτή είναι η τιμή $\lambda = -4.$

γ) Η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για $\lambda \neq 2$ και θα είναι παράλληλη στον άξονα $y'y$ όταν

$A\neq 0 \quad \text{ και}\quad B = 0$

Επειδη (απο α)για ${\bf{\lambda\neq 2}}$ έχουμε $A\neq 0$
οπότε
$Β=0 \Leftrightarrow \lambda^2 - 4= 0 \Leftrightarrow \lambda = \pm 2$
Δεκτή είναι η τιμή $\lambda = -2.$

δ) Η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για $\lambda \neq 2$ και διέρχεται από την αρχή $Ο(0,0)$ όταν οι συντεταγμένες του $O$ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, για κάθε $\lambda \neq 2.$
Οπότε για $x=0, \,\, y=0$ η εξίσωση $(1)$ γίνεται:

$(\lambda^2 + 2\lambda - 8) \cdot 0 + (\lambda^2 - 4) \cdot 0 + \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \Leftrightarrow$

$0+0+\lambda^2 - 5 \lambda + 6 = 0 \Leftrightarrow$

$\lambda^2 - 5 \lambda + 6 = 0 \Leftrightarrow\lambda = 2 \,\, \text{ή} \,\,\lambda = 3.$

Δεκτή είναι η τιμή $\lambda = 3.$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά