ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΤΩΝ ΚΟΡΥΦΩΝ

ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Το εμβαδόν ενός τριγώνου $Α\overset{\triangle}{B}\Gamma}$ αποδεικνύεται ότι είναι ίσο με:

$(A\overset{\triangle}{B}\Gamma) = \frac{1}{2} \cdot\Bigg{|} det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\Gamma}) \Bigg{|}$

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
α)
Είναι:

$\overrightarrow{AB} = (x_{B}-x_{A}\,\, , y_{B}-y_{A})$

με $A(2,4),\,\, B(-6,2)$ έχουμε:

$\overrightarrow{AB} = (-6-2, 2-4)$

$\overrightarrow{AB} =(-8, -2))$

επίσης

$\overrightarrow{A\Gamma} = (x_{\Gamma}-x_{A}\,\, , y_{\Gamma}-y_{A})$

με $B(-6,2)}$ και ${\Gamma(0,10)}$ έχουμε:

$\overrightarrow{A\Gamma} = (0-2,10-4)$

$\overrightarrow{A\Gamma} = (-2,6)$

Έχουμε:

$\begin{align*} det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma}) =& \left|\begin{array}{cc}{-8} & {-2} \\ {-2} & {6}\end{array}\right|=\\\\ =& -8 \cdot 6-(-2)(-2)=\\\\ =&-48-4=-52 \end{align*}$

Επομένως είναι:

$(\mathrm{A\overset{\triangle}{B}} \Gamma)=\frac{1}{2}\cdot\left \vert {det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{A} \Gamma})\right \vert=\frac{1}{2}\cdot\lvert-52\rvert=\frac{52}{2} = 26\text{τ.μ}$

ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

β) Το σημείο $\Delta(x_{\Delta} \,\, , \,\, y_{\Delta})$ ανήκει στην ευθεία

$(\epsilon): 2\mathrm{x} - \mathrm{y} - 3 = 0 \Leftrightarrow (\epsilon):\mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 3,$

οπότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας δηλαδή θα ισχύει:

$y_{\Delta}= 2\cdot x_{\Delta}-3$

άρα το σημείο $\Delta(x_{\Delta} \,\, , \,\, y_{\Delta})$ θα είναι της μορφής $\Delta(α, 2α - 3).$
Έχουμε:

$\overrightarrow{B\Gamma} =(x_{\Gamma}-x_{B}\,\, , y_{\Gamma}- y_{B})$

με $\boldsymbol{ B(-6,2)}$ και $\boldsymbol{\Gamma(0,10)},$ έχουμε

$\overrightarrow{B\Gamma} = \big(0 - (-6), 10 - 2\big)$

$\overrightarrow{B\Gamma}= (6,8)$

Επίσης

$\overrightarrow{B\Delta}= ( x_{\Delta} -x_{B}\,\, , \,\, y_{\Delta}-y_{B})$

με $\boldsymbol{ B(-6,2)}$ και $\boldsymbol{\Delta(α, 2α - 3)},$ έχουμε

$\overrightarrow{B\Delta} = \big(α - (-6), 2α - 3 -2\big)$

$\overrightarrow{B\Delta} = (α + 6, 2α - 5)$

Επομένως είναι:

$\begin{align*} \operatorname{det}(\overrightarrow{B\Gamma}, \overrightarrow{BA}) &=\left|\begin{array}{cc}{6} & {8} \\ {α + 6} & {2α - 5}\end{array}\right|=\\\\ &=6(2 α - 5) - 8(α + 6)=\\\\ &=12 α - 30 - 8 α - 48 =\\\\ &= 4 α - 78. \end{align*}$

Άρα έχουμε:

$(Β\overset{\triangle}{\Gamma}\Delta)=19 \Leftrightarrow$

$\frac{1}{2}\cdot\left \vert {det}(\overrightarrow{B\Gamma}, \overrightarrow{BA})\right \vert = 19 \Leftrightarrow$

$\lvert 4 α - 78 \rvert = 38 \Leftrightarrow$

$(4α - 78 = 38 \, \text{ ή } \,\, 4α - 78 = -38) \Leftrightarrow$

$(α = 29\, \text{ ή } \, α = 10).$

Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το $\Delta(29,55)$ ή το $\Delta(10,17).$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά