ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδουν που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.
Για να βρούμε τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν δύο ευθείες, εργαζόμαστε ως εξής:
Το σημείο $Μ(\mathrm{x},\mathrm{y})$ ανήκει στη διχοτόμο μιας γωνίας που σχηματίζουν δύο ευθείες $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2}),$ αν και μόνο αν:

$d(M,\epsilon_{1}) = d(M,\epsilon_{2})$

Η παραπάνω σχέση μας οδηγεί σε εξισώσεις δύο ευθειών $\delta_{1}$ και $\delta_{2}.$ Η μία από αυτές είναι η εξίσωση της διχοτόμου της οξείας γωνίας και η άλλη της διχοτόμου της αμβλείας γωνίας που σχηματίζουν οι $\epsilon_{1}$ και $\epsilon_{2}.$ Για να βρούμε ποια από τις δύο εξισώσεις αντιστοιχεί στην οξεία και ποια στην αμβλεία γωνία, εργαζόμαστε ως εξής:
Επιλέγουμε τυχαία σημείο Α της $\epsilon_{1}.$
Βρίσκουμε τις αποστάσεις $d(A,\delta_{1})$ και $d(A,\delta_{2}).$
Αν ισχύει ότι $d(A,\delta_{1}) < d(A,\delta_{2}),$ τότε η $\delta_{1}$ είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας και η $\delta_{2}$ είναι η διχοτόμος της αμβλείας γωνίας των $\epsilon_{1}$ και $\epsilon_{2}.$ Αν προκύψει ότι $d(A,\delta_{1}) = d(A,\delta_{2}),$ συμπεραίνουμε ότι οι ευθείες $\epsilon_{1}$ και $\epsilon_{2}$ είναι κάθετες.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

α) Έχουμε ότι:

$(\epsilon_{1}): 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1 = 0,$

ευθεία με στοιχεία $A_{1}=3,\, B_{1}=-4, \, \Gamma_{1}=1$
και

$(\epsilon_{2}): 5\mathrm{x} + 12\mathrm{y} + 4 = 0,$

ευθεία με στοιχεία $A_{2}=5,\, B_{2}=12, \, \Gamma_{2}=4$
Οπότε το σημείο $M(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ανήκει στη διχοτόμο μιας γωνίας που σχηματίζουν οι παραπάνω ευθείες αν και μόνο αν:

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

$d(M, \epsilon_{1}) = d(M, \epsilon_{2}) \Leftrightarrow$

$\frac{\lvert 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1 \rvert}{\sqrt{3^{2} + (-4)^{2}}} = \frac{\lvert 5\mathrm{x} + 12\mathrm{y} + 4 \rvert}{\sqrt{5^{2} + 12^{2}}} \Leftrightarrow$

$\frac{\lvert 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1 \rvert}{5} = \frac{\lvert 5\mathrm{x} + 12\mathrm{y} + 4 \rvert}{13} \Leftrightarrow$

$13 \lvert 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1 \rvert = 5 \lvert 5\mathrm{x} + 12\mathrm{y} + 4 \rvert \Leftrightarrow$

$\begin{cases} 13(3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1) = 5(5\mathrm{x} + 12\mathrm{y} + 4),\\\\ 13(3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1) = -5(5\mathrm{x} + 12\mathrm{y} + 4) \end{cases}\Leftrightarrow$

$\begin{cases} 39\mathrm{x} - 52\mathrm{y} + 13 =25\mathrm{x} + 60\mathrm{y} + 20,\\\\ 39\mathrm{x} - 52\mathrm{y} + 13 = -25\mathrm{x} - 60\mathrm{y} -20 \end{cases}\Leftrightarrow$

$\begin{cases} 2\mathrm{x} - 16\mathrm{y} - 1 = 0,\\\\ 64\mathrm{x} + 8\mathrm{y} + 33=0. \end{cases}$

Επομένως οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ είναι:

$(\delta_{1}): 2\mathrm{x} - 16\mathrm{y} - 1 = 0$

και

$(\delta_{2}): 64\mathrm{x} + 8\mathrm{y} + 33 = 0$

β) Βρίσκουμε ένα τυχαίο σημείο της ευθείας

$(\epsilon_{1}): 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1 = 0,$

για παράδειγμα για $x=1$ έχουμε:

$(\epsilon_{1}): 3\cdot 1- 4\mathrm{y} + 1 = 0\Rightarrow$

$3- 4\mathrm{y} + 1 = 0\Rightarrow$

$4- 4\mathrm{y} = 0\Rightarrow$

$- 4\mathrm{y} = -4\Rightarrow \mathrm{y} =1$

Άρα το $Α(1,1)\in (\epsilon_{1})$
Υπολογίζουμε τις αποστάσεις:

$\bullet d(A, \delta_{1}) = \frac{\lvert 2 \cdot 1 - 16 \cdot 1 - 1 \rvert}{\sqrt{2^{2} + (-16)^{2}}} = \frac{15}{\sqrt{260}} = \frac{15}{2\sqrt{65}}$

$\bullet d(A, \delta_{2}) = \frac{\lvert 64 \cdot 1 + 8 \cdot 1 + 33 \rvert}{\sqrt{64^{2} + 8^{2}}} = \frac{105}{4160} = \frac{105}{8\sqrt{65}}$

Ισχύει ότι $d(A, \delta_{1}) < d(A, \delta_{2}),$ άρα η $\delta_{1}$ αντιστοιχεί στη διχοτόμο της οξείας γωνίας που σχηματίζουν οι ευθείες $\epsilon_{1}$ και $\epsilon_{2}.$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ν. Α. Διακόπουλος

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά