ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδουν που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.
Για να βρούμε τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν δύο ευθείες, εργαζόμαστε ως εξής:
Το σημείο Μ(\mathrm{x},\mathrm{y}) ανήκει στη διχοτόμο μιας γωνίας που σχηματίζουν δύο ευθείες (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}), αν και μόνο αν:

  •     \[d(M,\epsilon_{1}) = d(M,\epsilon_{2})\]


    Η παραπάνω σχέση μας οδηγεί σε εξισώσεις δύο ευθειών \delta_{1} και \delta_{2}. Η μία από αυτές είναι η εξίσωση της διχοτόμου της οξείας γωνίας και η άλλη της διχοτόμου της αμβλείας γωνίας που σχηματίζουν οι \epsilon_{1} και \epsilon_{2}. Για να βρούμε ποια από τις δύο εξισώσεις αντιστοιχεί στην οξεία και ποια στην αμβλεία γωνία, εργαζόμαστε ως εξής:

  • Επιλέγουμε τυχαία σημείο Α της \epsilon_{1}.
  •  Βρίσκουμε τις αποστάσεις d(A,\delta_{1}) και d(A,\delta_{2}).
  •  Αν ισχύει ότι d(A,\delta_{1}) < d(A,\delta_{2}), τότε η \delta_{1} είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας και η \delta_{2} είναι η διχοτόμος της αμβλείας γωνίας των \epsilon_{1} και \epsilon_{2}. Αν προκύψει ότι d(A,\delta_{1}) = d(A,\delta_{2}), συμπεραίνουμε ότι οι ευθείες \epsilon_{1} και \epsilon_{2} είναι κάθετες.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

α) Έχουμε ότι:

    \[(\epsilon_{1}): 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1 = 0,\]

ευθεία με στοιχεία A_{1}=3,\, B_{1}=-4, \, \Gamma_{1}=1
και

    \[(\epsilon_{2}): 5\mathrm{x} + 12\mathrm{y} + 4 = 0,\]

ευθεία με στοιχεία A_{2}=5,\, B_{2}=12, \, \Gamma_{2}=4
Οπότε το σημείο M(\mathrm{x}, \mathrm{y}) ανήκει στη διχοτόμο μιας γωνίας που σχηματίζουν οι παραπάνω ευθείες αν και μόνο αν:

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

    \[d(M, \epsilon_{1}) = d(M, \epsilon_{2}) \Leftrightarrow\]

    \[\frac{\lvert 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1 \rvert}{\sqrt{3^{2} + (-4)^{2}}} = \frac{\lvert 5\mathrm{x} + 12\mathrm{y} + 4 \rvert}{\sqrt{5^{2} + 12^{2}}} \Leftrightarrow\]

    \[\frac{\lvert 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1 \rvert}{5} = \frac{\lvert 5\mathrm{x} + 12\mathrm{y} + 4 \rvert}{13} \Leftrightarrow\]

    \[13 \lvert 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1 \rvert = 5 \lvert 5\mathrm{x} + 12\mathrm{y} + 4 \rvert \Leftrightarrow\]

    \[\begin{cases} 13(3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1) = 5(5\mathrm{x} + 12\mathrm{y} + 4),\\\\ 13(3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1) = -5(5\mathrm{x} + 12\mathrm{y} + 4) \end{cases}\Leftrightarrow\]

    \[\begin{cases} 39\mathrm{x} - 52\mathrm{y} + 13 =25\mathrm{x} + 60\mathrm{y} + 20,\\\\ 39\mathrm{x} - 52\mathrm{y} + 13 = -25\mathrm{x} - 60\mathrm{y} -20 \end{cases}\Leftrightarrow\]

    \[\begin{cases} 2\mathrm{x} - 16\mathrm{y} - 1 = 0,\\\\ 64\mathrm{x} + 8\mathrm{y} + 33=0. \end{cases}\]

Επομένως οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}) είναι:

    \[(\delta_{1}): 2\mathrm{x} - 16\mathrm{y} - 1 = 0\]

και

    \[(\delta_{2}): 64\mathrm{x} + 8\mathrm{y} + 33 = 0\]

β) Βρίσκουμε ένα τυχαίο σημείο της ευθείας

    \[(\epsilon_{1}): 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 1 = 0,\]

για παράδειγμα για x=1 έχουμε:

    \[(\epsilon_{1}): 3\cdot 1- 4\mathrm{y} + 1 = 0\Rightarrow\]

    \[3- 4\mathrm{y} + 1 = 0\Rightarrow\]

    \[4- 4\mathrm{y} = 0\Rightarrow\]

    \[- 4\mathrm{y} = -4\Rightarrow \mathrm{y} =1\]

Άρα το Α(1,1)\in (\epsilon_{1})
Υπολογίζουμε τις αποστάσεις:

    \[\bullet d(A, \delta_{1}) = \frac{\lvert 2 \cdot 1 - 16 \cdot 1 - 1 \rvert}{\sqrt{2^{2} + (-16)^{2}}} = \frac{15}{\sqrt{260}} = \frac{15}{2\sqrt{65}}\]

    \[\bullet d(A, \delta_{2}) = \frac{\lvert 64 \cdot 1 + 8 \cdot 1 + 33 \rvert}{\sqrt{64^{2} + 8^{2}}} = \frac{105}{4160} = \frac{105}{8\sqrt{65}}\]

Ισχύει ότι d(A, \delta_{1}) < d(A, \delta_{2}), άρα η \delta_{1} αντιστοιχεί στη διχοτόμο της οξείας γωνίας που σχηματίζουν οι ευθείες \epsilon_{1} και \epsilon_{2}.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *