ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Τα σημεία του επιπέδου που ισαπέχουν απο τις (ε1) και (ε2) είναι τα σημεία της μεσοπαράλληλου ευθείας.

Μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του εππέδου που ισαπέχουν από τις $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2}).$
Για να βρούμε τη μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών, εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους:

1ος τρόπος
Το σημείο $Μ(\mathrm{x},\mathrm{y})$ ανήκει στη μεσοπαράλληλη $\epsilon$ των παράλληλων ευθειών $\epsilon_{1}$ και $\epsilon_{2},$ αν και μόνο αν:

$d(M,\epsilon_{1}) =d(M, \epsilon_{2})$

Η παραπάνω σχέση μας οδηγεί στην εξίσωση της μεσοπαράλληλης $(\epsilon).$
2ος τρόπος
Έστω $(\epsilon_{1}):\mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta_{1}$ και $(\epsilon_{2}):\mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta_{2}$ δύο παράλληλες ευθείες, οι οποίες τέμνουν τον άξονα $y'y$ στα σημεία $Α(0, \beta_{1})$ και $Β(0, \beta_{2})$ αντίστοιχα. Η μεσοπαράλληλη $\epsilon$ των $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ είναι παράλληλη στις $(\epsilon_{1}), (\epsilon_{2})$ (άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$ ) και διέρχεται από το μέσο $Μ\left(0,\dfrac{\beta_{1} + \beta_{2}}{2}\right).$ Άρα η εξίσωση της μεσοπαράλληλης $(\epsilon )$ είναι:

Το σημείο Μ είναι το μέσο των σημείων Α, Β επί του άξονα y’y.

$Μ\left(0,\dfrac{\beta_{1} + \beta_{2}}{2}\right) \in (\epsilon):y-y_{0}=\lambda_{\epsilon}\cdot (x-x_{0})\Leftrightarrow$

$(\epsilon):\mathrm{y} - \frac{\beta_{1} + \beta_{2}}{2} = \lambda (\mathrm{x} - 0) \Leftrightarrow$

$(\epsilon):\mathrm{y} - \frac{\beta_{1} + \beta_{2}}{2} = \lambda \cdot \mathrm{x} - 0 \Leftrightarrow$

$(\epsilon):\mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \frac{\beta_{1} + \beta_{2}}{2}.$

ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1ος τρόπος
Το σημείο $Μ(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ανήκει στη μεσοπαράλληλη των ευθειών
$(\epsilon_{1}): 2\mathrm{x} - \mathrm{y} - 5 = 0$ και
$(\epsilon_{2}): 2\mathrm{x} - \mathrm{y} + 3 = 0,$ αν και μόνο αν:

$d(M,\epsilon_{1}) = d(M, \epsilon_{2}) \Leftrightarrow$

$\frac{\lvert 2 \mathrm{x} - \mathrm{y} - 5 \rvert}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\lvert 2\mathrm{x} - \mathrm{y} + 3 \rvert}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}} \Leftrightarrow$

$\lvert 2 \mathrm{x} - \mathrm{y} - 5 \rvert = \lvert 2 \mathrm{x} - \mathrm{y} + 3 \rvert \Leftrightarrow$

$\begin{cases} 2\mathrm{x} - \mathrm{y} - 5 = 2 \mathrm{x} - \mathrm{y} + 3,\\ \text{ ή }\\ 2\mathrm{x} - \mathrm{y} - 5 = -2\mathrm{x} + \mathrm{y} - 3 \end{cases} \Leftrightarrow$

$\begin{cases} 2\mathrm{x} - \mathrm{y} - 5 -2 \mathrm{x} + \mathrm{y} - 3=0,\\ \text{ ή }\\ 2\mathrm{x} - \mathrm{y} - 5 +2\mathrm{x} - \mathrm{y} + 3=0 \end{cases} \Leftrightarrow$

$\begin{cases} -8=0,\,\,\, \text{ αδύνατο}\\ \text{ ή }\\ 4\mathrm{x} - 2\mathrm{y} - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow$

$2\mathrm{x} - \mathrm{y} - 1 = 0.$

Άρα η μεσοπαράλληλη των ευθειών $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ είναι η ευθεία

$(\epsilon): 2 \mathrm{x} - \mathrm{y} - 1 = 0.$

2ος τρόπος
Η ευθεία

$(\epsilon_{1}): \mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 5$

τέμνει τον άξονα $y'y$ για $x=0$ οπότε:

$(\epsilon_{1}): \mathrm{y} = 2\cdot 0 - 5 \Leftrightarrow \mathrm{y} = -5$

στο σημείο $Α(0,-5).$
Αντίστοιχα η ευθεία

$(\epsilon_{2}): \mathrm{y} = 2\mathrm{x} + 3$

τέμνει τον άξονα $y'y$ για $x=0$ οπότε:

$(\epsilon_{2}): \mathrm{y} = 2\cdot 0 + 3\Leftrightarrow \mathrm{y} = 3$

στο σημείο $B(0,3).$

Το μέσο $M\Big(x_{M}, y_{M}\Big)$ του ευθύγραμμου τμήματος $ΑΒ$
έχει συντεταγμένες που δίνονται τον τύπο συντεταγμένων μεσου

$x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\,\, \text{και}\,\,y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}$

και είναι το σημείο:

$M(0, \frac{-5 + 3}{2}) \equiv M(0, -1)$

Η μεσοπαράλληλη $\epsilon$ των ευθειών $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ διέρχεται από το σημείο $Μ(0, -1)$ και είναι παράλληλη στις $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2}),$ οπότε έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda = 2.$
Άρα η εξίσωση της μεσοπαράλληλης $\epsilon$ είναι:

$Μ(0,-1)\in (\epsilon): y-y_{0}=\lambda (x-x_{0}) \Leftrightarrow$

$(\epsilon):\mathrm{y} + 1 = 2 (\mathrm{x} - 0) \Leftrightarrow$

$(\epsilon):\mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 1$

$(\epsilon):2\mathrm{x} -\mathrm{y} - 1 =0.$

ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Έστω $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ οι ζητούμενες ευθείες.
Καθεμία από τις $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ απέχει 4 μονάδες από την $\epsilon.$
Άρα οι ευθείες $\epsilon_{1}$ και $\epsilon_{2}$ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $Μ$ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:

$d(M,\epsilon) = 4 \,\, \qquad (1)$

O γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν 4 μονάδες από την ευθεία (ε) είναι τα σημεία των ευθειών (ε1) και (ε2)

Αν είναι $Μ(\mathrm{x}, \mathrm{y}),$ τότε έχουμε:

$(1) \Leftrightarrow \frac{\lvert 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} - 12 \rvert}{\sqrt{3^{2} + (-4)^{2}}} = 4 \Leftrightarrow$

$\frac{\lvert 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} - 12 \rvert}{\sqrt{9 + 16}} = 4 \Leftrightarrow$

$\frac{\lvert 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} - 12 \rvert}{\sqrt{25}} = 4 \Leftrightarrow$

$\frac{\lvert 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} - 12 \rvert}{5} = 4 \Leftrightarrow$

$\lvert3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} - 12 |= 20 \Leftrightarrow$

$(3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} - 12 = 20 \,\, \text{ή} \,\, 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} - 12 = -20) \Leftrightarrow$

$(3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} - 32 = 0\,\, \text{ή} \,\,3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 8 = 0).$

Άρα οι ζητούμενες ευθείες $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ έχουν εξισώσεις αντίστοιχα:

$3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} - 32 = 0\,\, \text{ και} \,\, 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 8 = 0.$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28

Ν. Α. Διακόπουλος

ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά