ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

Έστω
$(\epsilon_{1}): \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta_{1}$ και $(\epsilon_{2}): \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta_{2},$
δύο παράλληλες ευθείες.
Η απόσταση των ευθειών $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ συμβολίζεται με $d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2})$ και αποδεικνύεται ότι είναι ίση με:

$d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|\beta_{1} - \beta_{2}|}{\sqrt{1 + \lambda^{2}}}.$

Η απόσταση δύο παράλληλων ευθειών, είναι ίση με το μήκος του κάθετου ευθύγραμμου τμήματος, που ορίζεται από δύο τυχαία σημεία των ευθειών.

Β ΤΡΟΠΟΣ.
Διαλέγουμε μια απο τις δύο ευθείες π.χ. την $(\epsilon_{1})$ και βρίσκουμε ένα σημείο της βάζοντας μια τυχαία τιμη στο $x$ και βρίσκουμε το $y$ που αντιστοιχεί.
Οι τιμες που έχουμε για τα $x,y$ είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου $M$ επί της $(\epsilon_{1}).$
Τέλος η απόσταση της $(\epsilon_{1})$ από την $(\epsilon_{2})$ θα είναι ίση με την απόσταση του σημείου
$M(x,y) \in (\epsilon_{1})$ από την ευθεία $(\epsilon_{2})$
δηλαδή:

$d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2})=d(M,\epsilon_{2})$

Σχόλιο
Η ευθεία $(\epsilon): A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ είναι παράλληλη στα διανύσματα: $\vec{\delta_{1}} = (B, -A)$ και $\vec{\delta_{2}} = (-B, A).$ \\

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Φέρνουμε τις εξισώσεις των ευθείων στην μορφή $y =\lambda \cdot x +\beta.$

$\left\{\begin{array}{lr} (\epsilon_{1}): 2x- y +8 =0\\\\ (\epsilon_{2}): 2x- y -2 =0 \end{array}\right\} \Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{lr} (\epsilon_{1}): y = 2x +8 \\\\ (\epsilon_{2}): y =2x -2 \end{array}\right\} \Rightarrow$

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

Οπότε η απόσταση των δύο ευθειών θα είναι:

$d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|\beta_{1} - \beta_{2}|}{\sqrt{1 + \lambda^{2}}}\Rightarrow$

$d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|8 - (-2)|}{\sqrt{1 + 2^{2}}}\Rightarrow$

$d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|8 +2|}{\sqrt{1 + 4}}\Rightarrow$

$d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|10|}{\sqrt{5}}\Rightarrow$

$d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{10}{\sqrt{5}}\text{μ.μ.}$

Β ΤΡΟΠΟΣ
Βρίσκουμε ένα τυχαίο σημείο της

$(\epsilon_{2}): 2x -y -2 =0$

Έστω για παράδειγμα $x= 0,$ τότε:

$(\epsilon_{2}): 2x -y+8 =0 \Rightarrow 2\cdot 0 - y -2 = 0 \Rightarrow y =-2.$

Άρα ένα σημείο της $(\epsilon_{2})$ είναι το $M(0,-2).$
Οπότε η απόσταση των δύο ευθειών θα ισούται με την απόσταση του σημείου $M(0,-2)\in (\epsilon_{2}),$ από την $(\epsilon_{1}): 2x- y +8 =0,$ δηλαδη:

$\color{purple}d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) =d(M,\epsilon_{1})\Rightarrow$

$\color{purple}d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \dfrac{|A_{1}\cdot x_{M}+ B_{1}\cdot y_{M}+\Gamma_{1}|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}\Rightarrow$

$\color{purple}d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \dfrac{| 2\cdot 0 -1\cdot (-2)+8|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}\Rightarrow$

$\color{purple}d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \dfrac{| 2+8|}{\sqrt{4+1}}\Rightarrow$

$\color{purple}d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \dfrac{|10|}{\sqrt{4+1}}\Rightarrow$

$\color{purple}d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \dfrac{10}{\sqrt{5}}\text{μ.μ.}$

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

α)

Η ευθεία:

$\boldsymbol{(\epsilon_{1}): α\mathrm{x} + (α - 6)\mathrm{y} + α + 2 = 0}$

με

$Α_{1}=\alpha, \quad B_{1}=\alpha -6, \quad \Gamma_{1}=\alpha +2$

είναι παράλληλη με το διάνυσμα $\vec{\delta_{1}}=(B_{1},-A_{1})$ δηλαδή:

$\vec{\delta_{1}}=(\alpha -6,-\alpha)$

Η ευθεία

$(\boldsymbol{\epsilon_{2}): (α - 2)\mathrm{x} + (α - 5)\mathrm{y} - α - 3 = 0}$

με

$Α_{2}=\alpha-2, \quad B_{2}=\alpha -5, \quad \Gamma_{2}=-\alpha -3$

είναι παράλληλη με το διάνυσμα $\vec{\delta_{2}}=(B_{2},-A_{2})$ δηλαδή:

$\vec{\delta_{2}}=(\alpha -5,-\alpha+2)$

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

Έχουμε:

$\epsilon_{1} \parallel \epsilon_{2} \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \parallel \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow$

$det(\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta_{2}}) = 0 \Leftrightarrow$

$\left|\begin{array}{cc}{α-6} & {-\alpha} \\ {α-5} & {-α+2}\end{array}\right|=0 \Leftrightarrow$

$(α-6)(-α+2)-(-α)(α-5)=0 \Leftrightarrow$

$(-6+α)(-α+2)+α(-5+α)=0 \Leftrightarrow$

$6α - 12 - α^{2} + 2α -5α + α^{2} = 0 \Leftrightarrow α = 4.$

β) Για $α = 4$ οι εξισώσεις των ευθειών $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2)}$ γίνονται:

$(\epsilon_{1}): 4\mathrm{x} - 2\mathrm{y} + 6 = 0 \Leftrightarrow 2\mathrm{x} - \mathrm{y} + 3 = 0 \Leftrightarrow (\epsilon_{1}):\mathrm{y} = 2\mathrm{x} + 3$

$(\epsilon_{2}): 2\mathrm{x} - \mathrm{y} - 7 = 0 \Leftrightarrow (\epsilon_{2}):\mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 7$

Επομένως είναι:

$d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|\beta_{1} - \beta_{2}|}{\sqrt{1 + \lambda^{2}}} =$

$\frac{3 - (-7)}{\sqrt{1 + 2^{2}}} = \frac{\lvert 10 \rvert}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}.$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28

Ν. Α. Διακόπουλος

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά