ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

Έστω
(\epsilon_{1}): \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta_{1} και (\epsilon_{2}): \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta_{2},
δύο παράλληλες ευθείες.
Η απόσταση των ευθειών (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}) συμβολίζεται με d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) και αποδεικνύεται ότι είναι ίση με:

    \[d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|\beta_{1} - \beta_{2}|}{\sqrt{1 + \lambda^{2}}}.\]

Η απόσταση δύο παράλληλων ευθειών, είναι ίση με το μήκος του κάθετου ευθύγραμμου τμήματος, που ορίζεται από δύο τυχαία σημεία των ευθειών.

Β ΤΡΟΠΟΣ.
Διαλέγουμε μια απο τις δύο ευθείες π.χ. την (\epsilon_{1}) και βρίσκουμε ένα σημείο της βάζοντας μια τυχαία τιμη στο x και βρίσκουμε το y που αντιστοιχεί.
Οι τιμες που έχουμε για τα x,y είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου M επί της (\epsilon_{1}).
Τέλος η απόσταση της (\epsilon_{1}) από την (\epsilon_{2}) θα είναι ίση με την απόσταση του σημείου
M(x,y) \in (\epsilon_{1}) από την ευθεία (\epsilon_{2})
δηλαδή:

    \[d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2})=d(M,\epsilon_{2})\]

Σχόλιο
Η ευθεία (\epsilon): A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 είναι παράλληλη στα διανύσματα: \vec{\delta_{1}} = (B, -A) και \vec{\delta_{2}} = (-B, A).\\

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Φέρνουμε τις εξισώσεις των ευθείων στην μορφή y =\lambda \cdot x +\beta.

    \[ \left\{\begin{array}{lr} (\epsilon_{1}): 2x- y +8 =0\\\\ (\epsilon_{2}): 2x- y -2 =0 \end{array}\right\} \Rightarrow \]

    \[ \left\{\begin{array}{lr} (\epsilon_{1}): y = 2x +8 \\\\ (\epsilon_{2}): y =2x -2 \end{array}\right\} \Rightarrow \]

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

Οπότε η απόσταση των δύο ευθειών θα είναι:

    \[d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|\beta_{1} - \beta_{2}|}{\sqrt{1 + \lambda^{2}}}\Rightarrow\]

    \[d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|8 - (-2)|}{\sqrt{1 + 2^{2}}}\Rightarrow\]

    \[d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|8 +2|}{\sqrt{1 + 4}}\Rightarrow\]

    \[d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|10|}{\sqrt{5}}\Rightarrow\]

    \[d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{10}{\sqrt{5}}\text{μ.μ.}\]

Β ΤΡΟΠΟΣ
Βρίσκουμε ένα τυχαίο σημείο της

    \[(\epsilon_{2}): 2x -y -2 =0\]


Έστω για παράδειγμα x= 0, τότε:

    \[(\epsilon_{2}): 2x -y+8 =0 \Rightarrow 2\cdot 0 - y -2 = 0 \Rightarrow y =-2.\]


Άρα ένα σημείο της (\epsilon_{2}) είναι το M(0,-2).
Οπότε η απόσταση των δύο ευθειών θα ισούται με την απόσταση του σημείου M(0,-2)\in (\epsilon_{2}), από την (\epsilon_{1}): 2x- y +8 =0, δηλαδη:

    \[\color{purple}d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) =d(M,\epsilon_{1})\Rightarrow\]

    \[\color{purple}d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \dfrac{|A_{1}\cdot x_{M}+ B_{1}\cdot y_{M}+\Gamma_{1}|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}\Rightarrow\]

    \[\color{purple}d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \dfrac{| 2\cdot 0 -1\cdot (-2)+8|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}\Rightarrow\]

    \[\color{purple}d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \dfrac{| 2+8|}{\sqrt{4+1}}\Rightarrow\]

    \[\color{purple}d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \dfrac{|10|}{\sqrt{4+1}}\Rightarrow\]

    \[\color{purple}d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \dfrac{10}{\sqrt{5}}\text{μ.μ.}\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

α)

Η ευθεία:

    \[\boldsymbol{(\epsilon_{1}): α\mathrm{x} + (α - 6)\mathrm{y} + α + 2 = 0}\]

με

    \[Α_{1}=\alpha, \quad B_{1}=\alpha -6, \quad \Gamma_{1}=\alpha +2\]

είναι παράλληλη με το διάνυσμα \vec{\delta_{1}}=(B_{1},-A_{1}) δηλαδή:

    \[\vec{\delta_{1}}=(\alpha -6,-\alpha)\]

Η ευθεία

    \[(\boldsymbol{\epsilon_{2}): (α - 2)\mathrm{x} + (α - 5)\mathrm{y} - α - 3 = 0}\]

με

    \[Α_{2}=\alpha-2, \quad B_{2}=\alpha -5, \quad \Gamma_{2}=-\alpha -3\]

είναι παράλληλη με το διάνυσμα \vec{\delta_{2}}=(B_{2},-A_{2}) δηλαδή:

    \[\vec{\delta_{2}}=(\alpha -5,-\alpha+2)\]

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

Έχουμε:

    \[\epsilon_{1} \parallel \epsilon_{2} \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \parallel \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow\]

    \[det(\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta_{2}}) = 0 \Leftrightarrow\]

    \[\left|\begin{array}{cc}{α-6} & {-\alpha} \\ {α-5} & {-α+2}\end{array}\right|=0 \Leftrightarrow\]

    \[(α-6)(-α+2)-(-α)(α-5)=0 \Leftrightarrow\]

    \[(-6+α)(-α+2)+α(-5+α)=0 \Leftrightarrow\]

    \[6α - 12 - α^{2} + 2α -5α + α^{2} = 0 \Leftrightarrow α = 4.\]


β)
Για α = 4 οι εξισώσεις των ευθειών (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2)} γίνονται:

    \[(\epsilon_{1}): 4\mathrm{x} - 2\mathrm{y} + 6 = 0 \Leftrightarrow 2\mathrm{x} - \mathrm{y} + 3 = 0 \Leftrightarrow (\epsilon_{1}):\mathrm{y} = 2\mathrm{x} + 3\]

    \[(\epsilon_{2}): 2\mathrm{x} - \mathrm{y} - 7 = 0 \Leftrightarrow (\epsilon_{2}):\mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 7\]

Επομένως είναι:

    \[d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|\beta_{1} - \beta_{2}|}{\sqrt{1 + \lambda^{2}}} =\]

    \[\frac{3 - (-7)}{\sqrt{1 + 2^{2}}} = \frac{\lvert 10 \rvert}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}.\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *