Β Λυκείου / Η ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΩΣ ΑΞΟΝΑΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ Ψ=Χ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ Ψ=Χ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Είναι M(x, y) \in C_f \Leftrightarrow N(y, x) \in C_g ή y =f(x) \Leftrightarrow x = g(y).
1) Έστω y_1, y_2 \in f(\mathbb{A}) και f \uparrowtail \mathbb{A}.
Οπότε υπάρχουν x_1, x_2 \in \mathbb{A} τέτοια ώστε f(x_1) = y_1 και f(x_2) = y_2.
Είναι:

    \begin{eqnarray*} y_1 < y_2 &\Rightarrow& f(x_1) < f(x_2) \\ &\xLeftrightarrow{f \uparrowtail}& x_1 < x_2 \\ &\Rightarrow& g(y_1) < g(y_2) \end{eqnarray*}

Άρα g \uparrowtail f(\mathbb{A}).
Όμοια αποδεικνύεται ότι:
f \downarrowtail \mathbb{A} \Rightarrow g \downarrowtail f(\mathbb{A}).

2)

Αν f \uparrowtail \mathbb{A}, έχουμε:
\bullet

    \begin{eqnarray*} g(x) = 0 &\xLeftrightarrow{f \uparrowtail}& f(g(x)) = f(0) \\ &\Leftrightarrow& x = \alpha \end{eqnarray*}

\bullet

    \begin{eqnarray*} g(x) > 0 &\xLeftrightarrow{f \uparrowtail}& f(g(x)) > f(0) \\ &\Leftrightarrow& x > \alpha \end{eqnarray*}

\bullet

    \begin{eqnarray*} g(x) < 0 &\xLeftrightarrow{f \uparrowtail}& f(g(x)) < f(0) \\ &\Leftrightarrow& x < \alpha \end{eqnarray*}


\bullet Αν f \downarrowtail \mathbb{A}, όμοια έχουμε τον επόμενο πίνακα:

3) Για κάθε σημείο M(x, y) \in C_f, έχουμε:
\bullet Μ(-x, -y) \in C_f, αφού η f είναι περιττή.
\bullet N(y, x), ~N'(-y, -x) \in C_g ~(1) αφού οι C_f, C_g είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.

Από την (1) έχουμε:

    \begin{eqnarray*} x = g(y) &\text{και}& -x = g(-y) \end{eqnarray*}

Οπότε g(-y) = -g(y).
Επομένως η g είναι περιττή.

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ Ψ=Χ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

1) Η ζητούμενη καμπύλη C φαίνεται στο επόμενο σχήμα. Η C είναι γραφική παράσταση μίας συνάρτησης g, διότι αν φέρουμε οποιαδήποτε ευθεία κάθετη στον άξονα x'x, τέμνει την C σε ένα το πολύ σημείο.

2) Επειδή f \uparrowtail \mathbb{A}, έχουμε ότι η g είναι συνάρτηση.
3a) Είναι f(\mathbb{A}) = [-1, 1]
\bullet Το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο τιμών του f. Δηλαδή το σύνολο f(\mathbb{A}) = [-1, 1].
\bullet Το σύνολο τιμών της g είναι το πεδίο ορισμού της f. Δηλαδή το σύνολο \mathbb{A}.
3b) Έχουμε:

    \begin{eqnarray*} g\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg) = \alpha &\Leftrightarrow& M\bigg(\dfrac{1}{2}, \alpha\bigg) \in C_g \\[3mm] &\Leftrightarrow& N\bigg(\alpha, \dfrac{1}{2}\bigg) \in C_f \\[3mm] &\Leftrightarrow& f(\alpha) = \dfrac{1}{2} \\[3mm] &\Leftrightarrow& \eta\mu \alpha = \dfrac{1}{2} \\[3mm] &\Leftrightarrow& \alpha =\dfrac{\pi}{6} \end{eqnarray*}

Άρα g\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg) \dfrac{\pi}{6}.

Βιβλιογραφία:

Μπάρλας, Άλγεβρα β. Λυκείου, εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *