ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Το κέντρο $Κ$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\Pi P \Sigma$ είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών $\Pi P$ και $P \Sigma.$

Για τις συντεταγμένες του μέσου $Μ$ της πλευράς $\Pi P.$
Με $\boldsymbol{\Pi(-3, 1), P(5,5)}$ ισχύουν:

$\mathrm{x} = \frac{\mathrm{x}_{\Pi} + \mathrm{x}_{P}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$

και

$\mathrm{y} = \frac{\mathrm{y}_{\Pi} + \mathrm{y}_{P}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

Επομένως είναι $Μ(1,3).$
Επίσης έχουμε:

$\lambda_{\Pi P} = \frac{\mathrm{y}_{P} - \mathrm{y}_{\Pi}}{\mathrm{x}_{P} - \mathrm{x}_{\Pi}} = \frac{5 - 1}{5 - (-3)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.$

Για τη μεσοκάθετη $\mu$ του $\Pi P$ ισχύει ότι:

$\mu \perp \Pi P \Leftrightarrow \lambda_{\mu} \lambda_{\Pi P} = -1 \Leftrightarrow \lambda_{\mu}\cdot \frac{1}{2} = -1 \Leftrightarrow \lambda_{\mu} = -2.$

Επομένως η μεσοκάθετη $\mu$ του $\Pi P$ έχει εξίσωση:

$Μ(1,3)\in (\mu): y-y_{0}=\lambda_{\mu}\cdot (x-x_{0})$

$(\mu): \mathrm{y} - 3 = -2(\mathrm{x} - 1) \Leftrightarrow$

$(\mu): \mathrm{y} - 3 = -2\cdot\mathrm{x} + 2 \Leftrightarrow$

$(\mu): \mathrm{y} = -2\cdot\mathrm{x} + 2 + 3 \Leftrightarrow$

$(\mu):\mathrm{y} = -2\mathrm{x} + 5$

Με ακριβώς όμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι η μεσοκάθετη της πλευράς $P\Sigma$ είναι η ευθεία:

$\zeta: \mathrm{x} + 3\mathrm{y} - 5 = 0$

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών $\mu$ και $\zeta$ :

$\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {x+3 y-5=0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {x+3 \cdot(-2 x+5)-5=0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {x-6x+15-5=0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {-5x+10=0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {-5x=-10}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {x=2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{y=-2 \cdot 2+5} \\ {x=2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{y=-4+5} \\ {x=2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{y=1} \\ {x=2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{x=2} \\ {y=1}\end{array}\right.$

Άρα το κέντρο του ζητούμενου κύκλου είναι το $Κ(2,1).$

Επίσης για την ακτίνα του κύκλου,
(επειδη $\Pi(-3, 1)$ σημείο του κύκλου)ισχύει ότι:

$\rho = K\Pi$

$\rho = \sqrt{(x_{\Pi}-x_{K})^{2}+(y_{\Pi}-y_{K})^{2}}$

$\rho = \sqrt{(2 - (-3))^{2} + (1 -1)^{2}}$

$\rho = \sqrt{(2 +3)^{2} + (0)^{2}}$

$\rho = \sqrt{(5)^{2}}=5$

Συνεπώς η εξίσωση του ζητούμενου κύκλου με κέντρο $Κ(2,1)$ και ακτίνα $\rho =5,$ είναι:

$(C):(\mathrm{x} - 2)^{2} + (\mathrm{y} - 1)^{2} = 5^{2}$

Άλλος τρόπος
Έστω $C: \mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} + A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ ο ζητούμενος κύκλος. Ο κύκλος $C$ διέρχεται από τα σημεία $\Pi(-3, 1), P(5,5)$ και $\Sigma(2,-4),$ αν και μόνο αν:

$\left\{\begin{array}{l}{(-3)^{2}+1^{2}+\mathrm{A}(-3)+\mathrm{B} \cdot 1+\Gamma=0} \\ {5^{2}+5^{2}+\mathrm{A} \cdot 5+\mathrm{B} \cdot 5+\Gamma=0} \\ {2^{2}+(-4)^{2}+\mathrm{A} \cdot 2+\mathrm{B}(-4)+\Gamma=0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{-3 \mathrm{A}+\mathrm{B}+\Gamma=-10} \\ {5 \mathrm{A}+5 \mathrm{B}+\Gamma=-50} \\ {2 \mathrm{A}-4 \mathrm{B}+\Gamma=-20}\end{array}\right.$