ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Το κέντρο Κ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \Pi P \Sigma είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών \Pi P και P \Sigma.

Για τις συντεταγμένες του μέσου Μ της πλευράς \Pi P.
Με \boldsymbol{\Pi(-3, 1), P(5,5)} ισχύουν:

    \[\mathrm{x} = \frac{\mathrm{x}_{\Pi} + \mathrm{x}_{P}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1\]

και

    \[\mathrm{y} = \frac{\mathrm{y}_{\Pi} + \mathrm{y}_{P}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\]

Επομένως είναι Μ(1,3).
Επίσης έχουμε:

    \[\lambda_{\Pi P} = \frac{\mathrm{y}_{P} - \mathrm{y}_{\Pi}}{\mathrm{x}_{P} - \mathrm{x}_{\Pi}} = \frac{5 - 1}{5 - (-3)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.\]

Για τη μεσοκάθετη \mu του \Pi P ισχύει ότι:

    \[\mu \perp \Pi P \Leftrightarrow \lambda_{\mu} \lambda_{\Pi P} = -1 \Leftrightarrow \lambda_{\mu}\cdot \frac{1}{2} = -1 \Leftrightarrow \lambda_{\mu} = -2.\]

Επομένως η μεσοκάθετη \mu του \Pi P έχει εξίσωση:

    \[Μ(1,3)\in (\mu): y-y_{0}=\lambda_{\mu}\cdot (x-x_{0})\]

    \[(\mu): \mathrm{y} - 3 = -2(\mathrm{x} - 1) \Leftrightarrow\]

    \[(\mu): \mathrm{y} - 3 = -2\cdot\mathrm{x} + 2 \Leftrightarrow\]

    \[(\mu): \mathrm{y} = -2\cdot\mathrm{x} + 2 + 3 \Leftrightarrow\]

    \[(\mu):\mathrm{y} = -2\mathrm{x} + 5\]

Με ακριβώς όμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι η μεσοκάθετη της πλευράς P\Sigma είναι η ευθεία:

    \[\zeta: \mathrm{x} + 3\mathrm{y} - 5 = 0\]

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών \mu και \zeta:

    \[\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {x+3 y-5=0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {x+3 \cdot(-2 x+5)-5=0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {x-6x+15-5=0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {-5x+10=0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {-5x=-10}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{y=-2 x+5} \\ {x=2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{y=-2 \cdot 2+5} \\ {x=2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{y=-4+5} \\ {x=2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{y=1} \\ {x=2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{x=2} \\ {y=1}\end{array}\right.\]

Άρα το κέντρο του ζητούμενου κύκλου είναι το Κ(2,1).

Επίσης για την ακτίνα του κύκλου,
(επειδη \Pi(-3, 1) σημείο του κύκλου)ισχύει ότι:

    \[\rho = K\Pi\]

    \[\rho = \sqrt{(x_{\Pi}-x_{K})^{2}+(y_{\Pi}-y_{K})^{2}}\]

    \[\rho = \sqrt{(2 - (-3))^{2} + (1 -1)^{2}}\]

    \[\rho = \sqrt{(2 +3)^{2} + (0)^{2}}\]

    \[\rho = \sqrt{(5)^{2}}=5\]

Συνεπώς η εξίσωση του ζητούμενου κύκλου με κέντρο Κ(2,1) και ακτίνα \rho =5, είναι:

    \[(C):(\mathrm{x} - 2)^{2} + (\mathrm{y} - 1)^{2} = 5^{2}\]

Άλλος τρόπος
Έστω C: \mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} + A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 ο ζητούμενος κύκλος. Ο κύκλος C διέρχεται από τα σημεία \Pi(-3, 1), P(5,5) και \Sigma(2,-4), αν και μόνο αν:

    \[\left\{\begin{array}{l}{(-3)^{2}+1^{2}+\mathrm{A}(-3)+\mathrm{B} \cdot 1+\Gamma=0} \\ {5^{2}+5^{2}+\mathrm{A} \cdot 5+\mathrm{B} \cdot 5+\Gamma=0} \\ {2^{2}+(-4)^{2}+\mathrm{A} \cdot 2+\mathrm{B}(-4)+\Gamma=0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{-3 \mathrm{A}+\mathrm{B}+\Gamma=-10} \\ {5 \mathrm{A}+5 \mathrm{B}+\Gamma=-50} \\ {2 \mathrm{A}-4 \mathrm{B}+\Gamma=-20}\end{array}\right.\]

Λύνουμε το παραπάνω σύστημα και βρίσκουμε ότι Α = -4, Β = -2 και \Gamma = -20.
Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι:

    \[C: \mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} - 4\mathrm{x} - 2\mathrm{y} - 20 =0.\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *