ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1. 1. Παρατηρούμε ότι:
    $\displaystyle\int_1^3 \big(f^2(x) - 6f(x) + 9\big) ~dx =$
    
    $\displaystyle\int_1^3 \big(f(x) - 3\big)^2 ~dx$
    
    Η συνάρτηση $g(x) = \big(f(x) - 3\big)^2$ είναι συνεχής στο $[1, 3]$ ως πραξεις συνεχών και ισχύει
    
    $g(x) = \big(f(x) - 3\big)^2 \geq 0.$
    
    Επίσης:
    Από υπόθεση $f(2)=1$ άρα η $g$ ΔΕΝ είναι ίση με το μηδέν σε όλο το $[1, 3],$ αφού:
    
    $g(2) = \big(f(2) - 3\big)^2 = (1 - 3)^2=(-2)^{2} = 4 \neq 0$
    
    Επομένως από τη θεωρία
    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
    ισχύει ότι:
    
    $\displaystyle\int_1^3 g(x) ~dx > 0 \Leftrightarrow$
    
    $\displaystyle\int_1^3 \big(f^2(x) - 6f(x) + 9\big) ~dx > 0$
  2. Για να ισχύει:
    $\displaystyle\int_1^3 f^2(x) ~dx > 4\displaystyle\int_1^3f(x) ~dx - 8.$
    
    Αρκεί να αποδείξουμε ότι:
    
    $\begin{align*} &\displaystyle\int_1^3 f^2(x) ~dx - 4\displaystyle\int_1^3 f(x) + 8 > 0 \Leftrightarrow\\\\ &\displaystyle\int_1^3 f^2(x) ~dx - 4\displaystyle\int_1^3 f(x) + \dfrac{8}{3-1}\cdot(3-1) > 0 \Leftrightarrow\\\\ &\displaystyle\int_1^3 f^2(x) ~dx - 4\displaystyle\int_1^3 f(x) + \dfrac{8}{3-1}\cdot\Bigg[x\Bigg]_{1}^{3} > 0 \Leftrightarrow\\\\ &\displaystyle\int_1^3 f^2(x) ~dx - 4\displaystyle\int_1^3 f(x) + \dfrac{8}{3-1}\cdot\int_{1}^{3}(x)' \,\, dx > 0 \Leftrightarrow \\\\ &\displaystyle\int_1^3 f^2(x) ~dx - 4\displaystyle\int_1^3 f(x) + \dfrac{8}{2}\cdot\int_{1}^{3}1 \,\, dx > 0 \Leftrightarrow\\\\ &\displaystyle\int_1^3 f^2(x) ~dx - 4\displaystyle\int_1^3 f(x) + 4\cdot\int_{1}^{3}1 \,\, dx > 0 \Leftrightarrow\\\\ & \int_1^3 f^2(x) ~dx - \dint_1^3 4f(x) ~dx + \displaystyle\int_1^3 4 ~dx > 0 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3 \big(f^2(x) - 4f(x) + 4\big) ~dx \Leftrightarrow \\\\ &\displaystyle\int_1^3\big(f(x) - 2\big)^2 ~dx > 0 \end{align*}$
    
    Η παραπάνω ανισότητα από τη θεωρία
    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣισχύει, διότι:
    - η συνάρτηση $h(x) = \big(f(x) - 2\big)^2$ είναι συνεχής στο $[1, 3],$
    - ισχύει ότι $h(x) \geq 0, ~\forall x \in [1, 3]$
    - Από υπόθεση $f(2)=1$ άρα η $h$ ΔΕΝ είναι ίση με το μηδέν σε όλο το $[1, 3],$ αφού:
      $h(2) = \big(f(2) - 2\big)^2 = (1 - 2)^2 = 1 \neq 0$
    Σημείωση
    Ισχύει ότι, $c = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \dfrac{c}{\beta - \alpha} ~dx.$
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά