ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1311 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1311 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

5.3 Γεωμετρική πρόοδος.

Rendered by QuickLaTeX.com


Λύση

Λύση
1.) Οι αριθμοί \kappa - 2, 2\kappa και 7\kappa + 4, είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

    \begin{align*} & ~(2\kappa)^2 = (\kappa - 2)(7\kappa + 4) \Leftrightarrow \\ & ~4\kappa^2 = 7\kappa^2 + 4\kappa - 14\kappa - 14\kappa - 8 \Leftrightarrow \\ & ~3\kappa^2 - 10\kappa - 8 = 0 \quad (1) \end{align*}

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

    \begin{align*} \Delta = & ~\beta^2 - 4 \alpha \gamma = \\ & ~(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = \\ & ~100 + 96 = 196 > 0 \end{align*}

Άρα η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις:

    \[x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}\]

    \[x_{1, 2} = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3}\]

    \[x_{1, 2} = \dfrac{10 \pm 14}{6}\]

    \[x_{1, 2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{10 + 14}{6} = 4\\[5mm] \dfrac{10 - 14}{6} = -\dfrac{2}{3} \end{array}\right.\]

Η τιμή \kappa = -\dfrac{2}{3} < 0 απορρίπτεται. Άρα \kappa = 4.
2a.) Είναι:

    \begin{align*} \alpha_2 & ~= \alpha_1 \lambda^{2 - 1} = 4 \alpha_1, \\ \alpha_4 & ~= \alpha_1 \lambda^{4 - 1} = \alpha_1 4^3 = 64 \alpha_1, \\ \alpha_5 & ~= \alpha_1 \lambda^{5 - 1} = \alpha_1 4^4 = 256 \alpha_1 \end{align*}

2b.) Ισχύει:

    \begin{align*} & ~\alpha_2 + \alpha_5 = \\ & ~4 \alpha_1 + 256 \alpha_1 = \\ & ~4(\alpha_1 + 64 \alpha_1) = \\ & ~4(\alpha_1 + \alpha_4) \end{align*}

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *