ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1288 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1288 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο $x^2 - \kappa x - 2$ έχει $\alpha = 1, ~\beta = -\kappa, ~\gamma = -2$ και διακρίνουσα:

$\Delta = \beta^2 - 4 \alpha \gamma = (-\kappa)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = \kappa^2 + 8 > 0, ~\forall \kappa \in \mathbb{R}.$

2.)
2α.) Είναι:

$\begin{align*} S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha} = -\dfrac{-\kappa}{1} = \kappa \end{align*}$

και

$\begin{align*} P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{-2}{1} = -2 \end{align*}$

2β.) Το άθροισμα των ριζών $\rho_1, \rho_2$ είναι:

$\begin{align*} \rho_1 + \rho_2 = 2 x_1 + 2 x_2 = 2(x_1 + x_2) = 2\kappa \end{align*}$

και το γινόμενο

$\begin{align*} \rho_1 \cdot \rho_2 = 2 x_1 \cdot 2 x_2 = 4 x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot (-2) = -8 \end{align*}$

Επομένως η εξίσωση που έχει ρίζες τις $\rho_1, \rho_2$ είναι:

$x^2 - 2 \kappa x - 8 = 0$

Ν. Α. Διακόπουλος