ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Φέρνουμε στο Α. Μέλος όλους τους όρους που περιέχουν το $f(x)$ και στο Β. Μέλος τους υπόλοιπους:

$f^{2}(x) +2x \leq +2 \cdot x \cdot f(x) + 1 \Rightarrow$

$f^{2}(x)-2 \cdot x \cdot f(x) \leq -2x + 1$

Προσθέτουμε το $x^{2}$ στο Α. Μέλος (αλλά και στο Β) ώστε να προκύψουν αναπτύγματα ταυτότητας τετραγώνου

$f^{2}(x)-2 \cdot x \cdot f(x) +{ \color{red}x^{2}}\leq { \color{red}x^{2}} -2x + 1 \Rightarrow$

$\Big( f(x) - x \Big)^{2} \leq (x-1)^{2} \Rightarrow$

$\sqrt{\Big( f(x) - x \Big)^{2}} \leq \sqrt{(x-1)^{2} } \Rightarrow$

$\Big | f(x) - x \Big | \leq |x-1|$

Εφαρμόζοντας την ιδιότητα απ’ο τις ανισότητες των απολύτων τιμών

$\color{blue} | x|\leq \theta \Leftrightarrow - \theta \leq x \leq \theta$

Έχουμε:

$-| x-1| \leq f(x) -x \leq |x-1|\Rightarrow$

$x -|x-1| \leq f(x) \leq x+ | x-1| \quad (1.)$

1.)
Από υπόθεση έχουμε ότι η σχέση (1.) ισχύει για κάθε $x \in \rr,$ άρα θα ισχύει και για $x =1$
δηλαδή:

$1 -|1-1| \leq f(1) \leq 1+ | 1-1|\Rightarrow$

$1 -|0| \leq f(1) \leq 1+ | 0|\Rightarrow$

$1 -0 \leq f(1) \leq 1+ 0\Rightarrow$

$1 \leq f(1) \leq 1 \Rightarrow$

$f(1)=1.$

2.)

${\color{blue} x -|x-1|} \leq f(x) \leq {\color{blue} x +|x-1|} \quad (1.)$

Επειδή:

$\displaystyle\lim_{x\to 1} \Big(x -|x-1|\Big)= 1 =\displaystyle\lim_{x\to 1} \Big(x +|x-1|\Big)$

Από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε ότι:

$\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x) = 1$

Συνεπώς η $f,$ συνεχής στο $x_{0} =1$ αφου απο ερώτημα (1.) έχουμε:

$\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x) =f(1).$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.

Ν. Α. Διακόπουλος