ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1526 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1526 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΤΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού.
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.)Είναι:

$\begin{eqnarray*} |1 - 3\alpha| < 2 &\Leftrightarrow& -2 < 1 - 3\alpha < 2 \\\\ &\Leftrightarrow& -2 - 1 < - 1 + 1 -3\alpha < -1 + 2 \\\\ &\Leftrightarrow& -3 < -3\alpha < 1 \\[3mm] &\Leftrightarrow&\dfrac{-3}{-3} > \dfrac{-3\alpha}{-3} > -\dfrac{1}{3} \\\\ &\Leftrightarrow& -\dfrac{1}{3} < \alpha < 1 ~(1) \end{eqnarray*}$

2.) Επειδή η απόσταση του αριθμού $\beta$ από τον αριθμό $2$ είναι μικρότερη του $1,$ ισχύει ότι:

$\begin{eqnarray*} d(2, \beta) < 1 &\Leftrightarrow& |\beta - 2| < 1 \\\\ &\Leftrightarrow&-1 < \beta - 2 < 1 \\\\ &\Leftrightarrow& -1 + 2 < \beta - 2 + 2 < 1 + 2 \\\\ &\Leftrightarrow& 1 < \beta < 3 ~(2) \end{eqnarray*}$

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης $(1)$ με $-3$ και βρίσκουμε:

$\begin{eqnarray*} -\dfrac{1}{3} < \alpha < 1 &\Leftrightarrow& 1 > -3\alpha > -3 \\ &\Leftrightarrow& -3 < -3\alpha < 1 ~(3) \end{eqnarray*}$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις $(2)$ και $(3)$ και βρίσκουμε:

$\begin{eqnarray*} 1 - 3 < \beta - 3\alpha < 3 + 1 &\Leftrightarrow& -2 < \beta - 3\alpha < 4 \\ &\Leftrightarrow& -2 - 1 < \beta -3\alpha - 1 < 4 - 1 \\ &\Leftrightarrow& -3 < \beta - 3\alpha - 1 < 3 \\ &\Leftrightarrow& |\beta - 3\alpha - 1| < 3 \end{eqnarray*}$

3.) Η συνάρτηση $f$ έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ αν και μόνο αν ισχύει:

$\begin{eqnarray*} &4x^2 - 4(\beta - 2)x + \beta^2 \geq 0, ~(4) ~\text{για κάθε} ~x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Το τριώνυμο $4x^2 - 4(\beta - 2)x + \beta^2$ έχει συντελεστή του $x^2$ τον αριθμό $4 > 0$ και διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\\\ &=& \big[-4(\beta - 2)\big]^2 - 4 \cdot 4 \cdot \beta^2 \\\\ &=& 16(\beta^2 - 4\beta + 4) - 16\beta^2 \\\\ &=& 16\beta^2 - 64\beta + 64 - 16\beta^2 \\\\ &=& 64 -64\beta \end{eqnarray*}$

Η ανίσωση $(4)$ ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ αν και μόνο αν:

$\begin{eqnarray*} \Delta < 0 &\Leftrightarrow& 64 - 64\beta < 0 \\ &\Leftrightarrow& -64\beta < - 64 \\ &\Leftrightarrow& \beta >1 \end{eqnarray*}$

το οποίο ισχύει λόγω της ανίσωσης $(2).$
\end{enumerate}

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1526 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά