ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ

Rendered by QuickLaTeX.com

Σχόλιο
Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο $Α(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0})$ είναι οι:
i) Η κατακόρυφη ευθεία για την οποία ΔΕΝ ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης $(\epsilon):\mathrm{x} = \mathrm{x}_{0}$
ii) και οι ευθείες οι οποίες έχουν συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) $(\epsilon):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{0} = \lambda (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0}).$

Λύση
Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο $O(0,0)$ είναι της μορφής:

$(\epsilon_{1}): \mathrm{x} = 0\,\, \text{ ή}\,\, (\epsilon_{2}): \mathrm{y} - 0 = \lambda (\mathrm{x} - 0) \Leftrightarrow \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x}.$

$\bullet$ Αν είναι $(\epsilon_{1}): \mathrm{x} = 0 \Leftrightarrow \mathrm{x} + 0 \cdot \mathrm{y} - 0 = 0,$
με $A_{1}=1,\,\, B_{1}=0, \,\, \Gamma_{1}=0.$ Εξετάζουμε αν η ευθεία $(\epsilon_{1})$ απέχει απο το σημείο $Α(-1,3)}$ απόσταση ίση με 1, τότε:

$d(A,\epsilon_{1}) = \frac{\vert Α_{1}\cdot x_{A}+B_{1}\cdot y_{A}+\Gamma_{1} \rvert}{\sqrt{ Α_{1}^{2} + B_{1}^{2}}}$

$d(A,\epsilon_{1}) = \frac{\vert -1 + 0 \cdot 3 - 0 \rvert}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = \frac{\lvert -1 \rvert}{1} = 1$

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ

Άρα η ευθεία $(\epsilon_{1}): \mathrm{x} = 0$ είναι λύση του προβλήματος.
$\bullet$ Αν είναι $(\epsilon_{2}): \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} \Leftrightarrow (\epsilon_{2}):\lambda \mathrm{x} - \mathrm{y} + 0 = 0,$ με $A_{2}=\lambda,\,\, B_{2}=-1, \,\, \Gamma_{2}=0.$ Αφού από υπόθεση η ευθεία $(\epsilon_{2})$ απέχει απο το σημείο $Α(-1,3)}$ απόσταση ίση με 1, τότε:

$d(A,\epsilon_{2}) = \frac{\vert Α_{2}\cdot x_{A}+B_{2}\cdot y_{A}+\Gamma_{2} \rvert}{\sqrt{ Α_{2}^{2} + B_{2}^{2}}}$

$d(A,\epsilon) = 1 \Leftrightarrow \frac{\lvert \lambda (-1) - 3 \rvert}{\sqrt{\lambda^{2} + 1}} = 1 \Leftrightarrow$

$\lvert -\lambda - 3 \rvert = \sqrt{\lambda^{2} + 1} \Leftrightarrow$

$\lvert \lambda + 3 \rvert = \sqrt{\lambda^{2} + 1} \Leftrightarrow$

$\lvert \lambda + 3 \rvert^{2} = \sqrt{\lambda^{2} + 1}^{2} \Leftrightarrow$

$(\lambda + 3)^{2} = \lambda^{2} + 1 \Leftrightarrow$

$\lambda^{2} + 6\lambda + 9 = \lambda^{2} + 1 \Leftrightarrow$

$6\lambda = -8 \Leftrightarrow \lambda = -\frac{4}{3}$

Άρα είναι $\epsilon: \mathrm{y} = -\frac{4}{3}\mathrm{x}.$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28

Ν. Α. Διακόπουλος

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά