ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
Η $f$ έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{A} = \mathbb{R}.$
1) Για κάθε $x \neq 0,$ έχουμε:

$\begin{eqnarray*} f(-x) &=& \dfrac{\eta\mu(-x)}{-x} \\ &=& \dfrac{-\eta\mu x}{-x} = f(x) \end{eqnarray*}$

και $f(0) = 1.$ Άρα η $f$ είναι άρτια.
2) Αρκεί να δείξουμε ότι $f(x) \leq 1, ~\forall x \in \mathbb{R}.$
$\bullet$ Για κάθε $x > 0,$ έχουμε:

$\begin{eqnarray*} f(x) \leq 1 &\Leftrightarrow& \dfrac{\eta\mu x}{x} \leq 1 \\ &\Leftrightarrow& \eta\mu x < x \end{eqnarray*}$

το οποίο ισχύει, αφού για $x > 0$ είναι:

$\begin{eqnarray*} |\eta\mu x| < |x| &\Rightarrow& |\eta\mu x| < x \\ \eta\mu x < x \end{eqnarray*}$

$\bullet$ Για $x = 0$ είναι $f(0) = 1 \leq 1.$

Άρα $maxf = 1$ στο $[0, +\infty).$ Επειδή η $f$ είναι άρτια έχουμε $maxf = 1.$

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

3) Είναι:
$\bullet$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \dfrac{1}{x} &\Leftrightarrow& \dfrac{\eta\mu x}{x} = \dfrac{1}{x} \\ &\Leftrightarrow& \eta\mu x = 1 \\ &\Leftrightarrow& x = 2\kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}, ~\kappa \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Άρα τα κοινά σημεία της $C_f$ με την υπερβολή είναι τα σημεία $A_{\kappa} \bigg(2\kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{1}{2\kappa\pi +\frac{\pi}{2}}\bigg), ~\kappa \in \mathbb{Z}.$
$\bullet$ Όμοια βρίσκουμε ότι τα κοινά σημεία της $C_f$ και της υπερβολής $y = -\dfrac{1}{x}$ είναι τα σημεία $B_{\kappa} \bigg(2\kappa\pi - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{1}{2\kappa\pi -\frac{\pi}{2}}\bigg), ~\kappa \in \mathbb{Z}.$
ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ
4) Για κάθε $x \neq 0,$ είναι $|f(x)| = \bigg|\dfrac{\eta\mu x}{x}\bigg| = \dfrac{|\eta\mu x|}{|x|} \leq \dfrac{1}{|x|}.$
Άρα $-\dfrac{1}{|x|} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{|x|}, ~\forall x \neq 0 ~(1)$
Η $C_f$ φαίνεται στο επόμενο σχήμα.
Από τη σχέση (1) έχουμε ότι οι υπερβολές είναι περιβάλλουσες της $C_f.$
Από τη $C_f$ έχουμε ότι όταν $x \to 0,$ τότε $\dfrac{\eta\mu x}{x} \to 1$ ή $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\eta\mu x}{x} = 1.$