ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Παράδειγμα.1
Δίνεται η συνάρτηση $f:\rr\to\rr,$ για την οποία ισχύει ότι:

$2x^2-7x+5\leq f(x)\leq x^2-x-4$

για κάθε $x\in(2,6)$ . Να βρείτε τα όρια

i ) $\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)$

ii ) $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{f(x)-2}{x-3}$

Λύση.

Για κάθε $x\in(2,6)$ ισχύει ότι $2x^2-7x+5\leq f(x)\leq x^2-x-4\qquad (1)$ .
Έχουμε:

$\lim_{x\to 3}(2x^2-7x+5)=2\cdot9-21+5=2$

και

$\lim_{x\to 3}(x^2-x-4)=9-3-4=2$

Άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι:

$\lim_{x\to 3}f(x)=2$

ii )Η σχέση $(1)$ γίνεται:

$\begin{align*} &2x^2-7x+5\leq f(x)\leq x^2-x-4\Leftrightarrow\\\\ &2x^2-7x+5-2\leq f(x)-2\leq x^2-x-4-2\Leftrightarrow\\\\ &2x^2-7x+3\leq f(x)-2\leq x^2-x-6 \qquad (2) \end{align*}$

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Αν $x-3>0\velos x>3$ , τότε:

$(2)\Rightarrow\dfrac{2x^2-7x+3}{x-3}\leq \dfrac{f(x)-2}{x-3}\leq\dfrac{x^2-x-6}{x-3}$

Όμως έχουμε:

$\begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to3^{+}}\dfrac{2x^2-7x+3}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to3^{+}}\dfrac{2(x-3)(x-\dfrac{1}{2})}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to3^{+}}2(x-\dfrac{1}{2})=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}(2x-1)=5. \end{align*}$

και

$\begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}\dfrac{x^2-x-6}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}(x+2)=5\\\\ \end{align*}$

Από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι:

$\lim_{x\to 3^{+}}\dfrac{f(x)-2}{x-3}=5$

Αν $x-3<0\velos x<3$ , τότε:

$(2)\Rightarrow\dfrac{2x^2-7x+3}{x-3}\geq \dfrac{f(x)-2}{x-3}\geq\dfrac{x^2-x-6}{x-3}$

Όμως έχουμε:

$\begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to3^{-}}\dfrac{2x^2-7x+3}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to3^{-}}\dfrac{2(x-3)(x-\dfrac{1}{2})}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to3^{-}}2(x-\dfrac{1}{2})=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}(2x-1)=5\\\\ \end{align*}$

και

$\begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}\dfrac{x^2-x-6}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}(x+2)=5\\\\ \end{align*}$

Απο το κριτήριο παρεμβολής έχουμε

$\lim_{x\to 3^{-}}\dfrac{f(x)-2}{x-3}=5$

Απ’ο κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε:

$\lim_{x\to 3^{+}}\dfrac{f(x)-2}{x-3}=\lim_{x\to 3^{-}}\dfrac{f(x)-2}{x-3}=5,$

άρα ισχύει

$\lim_{x\to 3}\dfrac{f(x)-2}{x-3}=5$

Rendered by QuickLaTeX.com

Παράδειγμα.2

Δίνεται η συνάρτηση $f:\rr\to\rr^{*}$ για την οποία ισχύει:

$\Big| \frac{f(x)-3}{x} \Big|\leq 2.$

Να βρεθεί το $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x).$

Λύση.
Για κάθε $x\neq 0$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &\Big| \frac{f(x)-3}{x} \Big|\leq 2 \Leftrightarrow\\\\ & \frac{|f(x)-3|}{|x|} \leq 2 \Leftrightarrow\\\\ & |f(x)-3| \leq 2|x| \Leftrightarrow\\\\ -2|x|\leq & f(x)-3 \leq 2|x| \Leftrightarrow\\\\ -2|x|+3\leq &f(x)-3+3 \leq 2|x|+3 \Leftrightarrow\\\\ -2|x|+3\leq &f(x) \leq 2|x|+3 \Leftrightarrow \end{align*}$

Έχουμε ότι

$\lim_{x\to 0}( -2|x|+3)=3$

και

$\lim_{x\to 0}( 2|x|+3)=3$

οπότε απο κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι:

$\lim_{x\to 0} f(x)=3.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά