![\text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Δίνεται η συνεχής συνάσρτηση $ f: \rr \to \rr$ για την οποία ισχύει: $$ f^{2}(x)+2f(x)\hm x = x^{2} + \syn^{2}x, \quad x\in \rr, \, $$ και $f(0) =1.$ \begin{enumerate} \item Να δείξετε ότι η $ g(x) = f(x)+ \hm x, x\in \rr$ διατηρεί \\ σταθερό πρόσημο. \item Να δείξετε ὸτι $ f(x) = \sqrt{x^{2}+1}-\hm x.$ \item Να βρείτε τα όρια:\\ \begin{inparaenum}[i.)] \item $ \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)-1}{x}.$\\ \item $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x).$ \end{inparaenum} \end{enumerate}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12f1f57be59f4cd784955f2fa045a540_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Όλα τα άρθρα του/της Νίκος Διακόπουλος
Φ10/201
![\text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Έστω η συνεχής συνάρτηση $ f: \rr \to \rr$ για την οποία ισχύει: $$ f^{2}(x) = 1+2xf(x) \quad x \in \rr$$ \begin{enumerate} \item Να δείξετε ότι $ f(x) \neq x \quad x \in \rr.$ \item Αν $ f(1) >1,$ να βρείτε:\,\\ \begin{inparaenum}[i.)] \item \,τον τύπο της $ f.$\\ \item \,το $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x) \cdot \hm x.$ \end{inparaenum} \end{enumerate} \end{enumerate}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bb171dab6953a473ba72887faf3c682_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Φ9/200
![\text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Δίνεται η γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση $ f:[0,1] \to \rr.$ Αν $ A(1,1)\in C_{f}$ τότε: \begin{enumerate} \item Να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα η συνάρτηση: $$ g(x) = \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{x} +2, \quad x\in (0,1)$$ \item Να βρείτε το σύνολο τιων της $ g. $ \item Δείξτε ότι η εξίσωση: $ \dfrac{f(x)}{x} = 1+ 2f(x)$ έχει μοναδική ρίζα στο $ (0,1).$ \end{enumerate} \end{enumerate}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-402e42d92e3a99c989be44942311fec9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Φ8/200
![\text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Έστω η συνεχής συνάρτηση $ f: \rr \to \rr $ για την οποία ισχύει: $$ x^{2} < f(x) < x^{2} +1, \quad x \in \rr.$ \begin{enumerate} \item Να δείξετε ότι η $ C_{f}$ τέμνει την ευθεία $ (\epsilon): y =2x $ σ'ὲνα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη $ x_{0} \in (0,1) $ \item Αν η συνάρτηση $ f$ είναι γνησίως αύξουσα να δείξετε ότι: \begin{enumerate} \item Η $ g(x) = \dfrac{1}{f(x)}+ \dfrac{1}{e^{x}}-1,$ με $ x\in \rr$ είναι γνησίως φθίνουσα. \item Η εξίσωση $ e^{x} + f(x) = e^{x}f(x)$ έχει\\ μοναδική ρίζα στο $ (0,2)$ \item Να βρείτε το $ \displaystyle\lim_{x\to 0}\big[ x^{2}f\big(\dfrac{1}{x}\big)+ \ln x \big]$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61aeee0af5b85527508d73c1be8219e9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Φ7/200
Φ6/201
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων
Αν 
και 
τότε ισχύουν:
Απόδειξη
Για τις συντεταγμένες του τυχαίου διανύσματος 
ισχύουν:
Συνέχεια ανάγνωσης ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Σε σύνθετες περιπτωσεις υπολογισμού ορισμένου ολοκληρώματος
χρησιμοποιούμε το άθροισμα των άκρων στην ολοκλήρωση με αντικατάσταση, ως εξής:
![\[x = \alpha +\beta - u.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7988312cfd24c7f6ec43d71f51fcc9f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
οπότε έχουμε:
![\[dx = (\alpha + \beta -u)' du \Rightarrow dx = -du.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09c3b00c449f40b33fbaef5b4baefe43_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ
Συντεταγμένες μέσου τμήματος
Έστω 
ένα ευθύγραμμο τμήμα με 
και 
Αν 
είναι το μέσο του τμήματος 
τότε ισχύει ότι:
![\[\mathrm{x_M}=\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2}{2} \quad \text{και}\quad \mathrm{y_M}=\frac{\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2}{2}\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8f6d47f08ab176ffe533d95e4423510_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")