Αρχείο κατηγορίας Γ Λυκείου

Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x^3+3\alpha x^2+6x-4 \quad \text{με} \,\alpha\in\rr.
Να βρείτε για ποιές τιμές του \alpha η f είναι γνησίως αύξουσα στο \rr.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

1 σχόλιο

Αν δεν μπορούμε να βρούμε το πρόσημο της πρωτης παραγώγου f', τότε υπολογίζουμε τη το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου. Στην περίπτωση που αυτό δεν είναι εφικτό βρίσκουμε τις παραγώγους ανώτερης τάξης ως εκείνης που μπορούμε να βρούμε το πρόσημο.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ →

Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

Σχολιάστε

Αν για μια συνάρτηση f ορίζεται στο σύνολο A=\Delta_1\cup\Delta_2, όπου \Delta_1 και \Delta_2 διαστήματα και η παράγωγος f' διατηρει το ίδιο πρόσημο για κάθε εσωτερικό σημείο x των \Delta_1 και \Delta_2, τότε η f είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα \Delta_1 και \Delta_2.
Δεν μπορούμε να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι η f είναι γνησίως μονότονη σε όλο το σύνολο A=\Delta_1\cup\Delta_2.
Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ →

Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Σχολιάστε

Για να υπολογίσουμε τη μονοτονία συνάρτησης πολλαπλού τύπου, δηλαδή για να μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία μια συνάρτηση της μορφής

    \[f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $f_1(x),$ & $x\leq x_0$ \\\\ $f_2(x),$ & $x >x_0$\\ \end{tabular} \right. \]

εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ →

Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΗ `Η ΜΗ ΘΕΤΙΚΗ

1 σχόλιο

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα \Delta, για την οποία:

  • Ισχύει f'(x)>0 (αντίστοιχα f'(x)<0) για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta.
  • Η ισότητα f'(x)=0 ισχύει για διακεκριμένα σημεία του \Delta, δηλαδή για πεπερασμένα ή άπειρα σημεία τα οποία όμως δεν σχηματίζουν διάστημα.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΗ `Η ΜΗ ΘΕΤΙΚΗ →

    Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

    ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

    Σχολιάστε

    Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα \Delta.

  • Αν f'(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \Delta.
  • Αν f'(x)<0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το \Delta.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

    ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

    Σχολιάστε

    Αν για δύο συναρτήσεις f και g ισχύει ότι:

        \[f'(x)=g'(x)\]

    για κάθε x\in\Delta_1\cup\Delta_2\cup... όπου \Delta_1, \Delta_2,... διαστήματα, τότε είναι:

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $g(x)+c_1, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_1$ \\ $g(x)+c_2, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_2$ \\ $\vdots$ \end{tabular} \right. \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

    ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

    Σχολιάστε

    Έστω δύο συναρτήσεις f,g ορισμένες σε ένα διάστημα \Delta. Αν:

  • Οι f,g είναι συνεχείς στο \Delta και
  • f'(x)=g'(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta

    • Τότε υπάρχει σταθερά c τέτοιο ώστε για κάθε x\in\Delta να ισχύει:

        \[f(x)=g(x)+c\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

    ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

    Σχολιάστε

    Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ότι: f'(x)=0 για κάθε x\in\Delta_1\cup\Delta_2\cup... όπου \Delta_1,\Delta_2,... διαστήματα, τότε είναι:

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $c_1, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_1$ \\ $c_2, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_2$ \\ $\vdots$ \end{tabular} \right. \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

    ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    Σχολιάστε

    Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα \Delta. Αν:

    • Η f είναι συνεχής στο \Delta και
    • f'(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta

    τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα \Delta.

    Για τις ασκήσεις, για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f είναι σταθερή σε ένα διάστημα \Delta, εργαζόμαστε ως εξής:

    • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο \Delta
    • Αποδεικνύουμε ότι

          \[f'(x)=0\]

      για κάθε εσωτερικό σημείο x \in \Delta.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ →