Αρχείο κατηγορίας Γ Λυκείου

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

5 Μαρτίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Παράδειγμα.1
Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, για κάθε $x\in\mathbb{R},$ ισχύει:

$f(x)+3f(2-x)=-4x$

Να βρείτε:
i) Την τιμή $f(1).$
ii) Τον τύπο της συνάρτησης $f.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ →

Γ Λυκείου,ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

5 Μαρτίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης $f$ εργαζόμαστε ως εξής:

Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της $f$ .
Θεωρούμε την εξίσωση $y=f(x)$ και τη λύνουμε ως προς $x$ θέτοντας όπου χρειάζεται περιορισμούς για το $y$ .
Απαιτούμε η λύση $x$ που βρήκαμε να ανήκει στο πεδίο ορισμού της $f.$
Συναληθεύουμε τους περιορισμούς που έχουν προκύψει για το $y$ και βρίσκουμε έτσι το σύνολο τιμών της $f$ .
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου,ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 Μαρτίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Παράδειγμα.1
Να βρείτε για ποιές τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$ το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

$f(x)=\ln[(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1]$

είναι το $\mathbb{R}.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ →

Γ Λυκείου,ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2 Μαρτίου 2016 Νίκος Διακόπουλος 1 σχόλιο

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Όταν γνωρίζουμε μόνο τον τύπο μιας συνάρτησης $f$ , τότε το πεδίο ορισμού της είναι το ευρύτερο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ στο οποίο ο τύπος της $f(x)$ έχει νόημα πραγματικού αριθμού.
Για τις ασκήσεις, γενικά το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης θεωρούμε όλο το $\mathbb{R}$ εκτός απο τις παρακάτω περιπτώσεις που πρέπει να πάρουμε τους σχετικούς περιορισμούς.

$f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ τότε θα πρέπει $Q(x) \neq 0$

$f(x)=\sqrt[\nu]{P(x)}, \nu \in \mathbb{N}^*- \{1\}$ τότε θα πρέπει $P(x) \geq 0$

$f(x)=ln(P(x))$ τότε θα πρέπει $P(x)>0$

$f(x)=\epsilon\phi(P(x))$ τότε θα πρέπει $P(x) \neq \kappa\pi+\dfrac{\pi}{2}, \kappa \in \mathbb{Z}$

$f(x)=\sigma\phi(P(x))$ τότε θα πρέπει $P(x) \neq \kappa\pi, \kappa \in \mathbb{Z}$

$f(x)=(P(x))^{Q(x)}$ τότε θα πρέπει $P(x)>0$

Όπου $P(x), \, \, Q(x)$ πολυώνυμα του $x\in \rr.$

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΝΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

15 Δεκεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2,...,\xi_{\nu}\in(\alpha,\beta)$ για τα οποία ισχύει

$\kappa_1f'(\xi_1)+\kappa_2f'(\xi_2)+...+\kappa_{\nu}f'(\xi_{\nu})=\lambda$

τότε πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα $[\alpha,\beta]$ σε $\nu$ υποδιαστήματα και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα από αυτά. Ο χωρισμός θα πρέπει να γίνει ως εξής:
Έστω $\delta=\beta-\alpha$ το πλάτος του διαστήματος $[\alpha,\beta]$ και

$\kappa=\kappa_1+\kappa_2+...+\kappa_\nu$

Θεωρούμε τα υποδιαστήματα $[\alpha,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{\nu-1},\beta]$ με αντίστοιχα πλάτη

$\delta_1=\frac{\kappa_1}{\kappa}\cdot\delta, \delta_2=\frac{\kappa_2}{\kappa}\cdot\delta,...,\delta_{\nu}=\frac{\kappa_\nu}{\kappa}\cdot\delta$

Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΝΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

10 Δεκεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Περίπτωση 1
Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2,\xi_3,...,\xi_{\nu}\in(\alpha,\beta)$ για τα οποία ισχύει
$f'(\xi_1)+f'(\xi_2)+...+f'(\xi_{\nu})=\lambda$ τότε πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα $[\alpha,\beta]$ σε $\nu$ υποδιαστήματα και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα πο αυτά.

Αν έχουμε δεδομένα για τιμές της $f$ στο $[\alpha,\beta]$ , τότε αυτές μας δείχνουν με ποιον τρόπο θα χωρίσουμε το $[\alpha,\beta]$ σε υποδιαστήματα.

Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

9 Δεκεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι:

Συνεχής στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$

Παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$

Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi)=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$

Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

5 Δεκεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος 1 σχόλιο

Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

$f'(x)+g(x)f(x)=0 \quad (1)$

έχει μία τουλάχιστον λύση σε ένα διάστημα $(\alpha,\beta)$ τότε:

Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση $G$ της $g$ για την οποία ισχύει

$G'(x)=g(x)$

Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση $(1)$ με $e^{G(x)}$ και ισοδύναμα έχουμε:

$\begin{align*} &f'(x)+g(x)f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &f'(x)+G'(x)f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &e^{G(x)}\Big( f'(x)+G'(x)f(x)\Big) =e^{G(x)}\cdot 0 \Leftrightarrow\\\\ &e^{G(x)}f'(x)+G'(x)e^{G(x)}f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &e^{G(x)}f'(x)+(e^{G(x)})'f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &(e^{G(x)}f(x))'=0 \end{align*}$

και στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την

$h(x)=e^{G(x)}f(x) \quad \text{στο} \quad [\alpha,\beta]$

Συνέχεια ανάγνωσης ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

4 Δεκεμβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος 3 σχόλια

ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Στην προσπάθεια να βρούμε την αρχική μιας συνάρτησης πρέπει να ελέγχουμε αν εμφανίζεται παράγωγος γινομένου ή πηλίκου ή παράγωγος σύνθετης συνάρτησης.

* $f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=\Big(f(x)g(x)\Big)'$