Γ Λυκείου / ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

1 σχόλιο
Print Friendly, PDF & Email

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Ισχύουν:

  • H σύνθεση f\circ f^{^{-1}} είναι συνάρτηση ταυτοτική στο f(A) δηλαδή:

        \[\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.\]

  • H σύνθεση f^{^{-1}}\circ f είναι συνάρτηση ταυτοτική στο A_{f} δηλαδή:

        \[\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.\]

  • Οι συναρτήσεις f και f^{^{-1}} έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.

  • Rendered by QuickLaTeX.com

  • Rendered by QuickLaTeX.com

Παράδειγμα

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=-x^3-x+12.

i) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

ii) Να λύσετε την ανίσωση f^{-1}\Big(f(|x|-1)+8\Big) < 1.

Λύση
i) Θα μελετήσουμε την f ως προς τη μονοτονία, με τη χρήση του ορισμού.
Έστω x_{1},x_{2}\in A_{f}=\mathbb{R}. Έχουμε:

    \begin{align*} &x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow \\\\ &x_{1}^{3}<x_{2}^{3} \Leftrightarrow\\\\ -&x_{1}^{3}>-x_{2}^{3}. \quad (1.)\\ \end{align*}

Επίσης έχουμε:

    \begin{align*} &x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow \\\\ -&x_{1}>-x_{2} \Leftrightarrow\\\\ -&x_{1}+12>-x_{2}+12. \quad (2.) \end{align*}

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισώσεις (1.) και (2.) έχουμε:

    \[-x_{1}^{3}-x_{1}+12>-x_{2}^{3}-x_{2}+12\Leftrightarrow f(x_{1})>f(x_{2})\]

Άρα η f είναι γνησίως μονότονη, ως γνησίως φθίνουσα, οπότε είναι 1-1, δηλαδή είναι αντιστρέψιμη.
ii)Η ανίσωση f^{-1}\Big(f(|x|-1)+8\Big) < 1 γίνεται:

    \begin{align*} &f^{-1}\Big(f(|x|-1)+8\Big) < 1 \stackrel{f\,\downarrow}{\Leftrightarrow}\\\\ &f \bigg(f^{-1}\Big(f(|x|-1)+8\Big)\bigg) < f(1)\Leftrightarrow \\\\ &f(|x|-1)+8 < 10\Leftrightarrow \\\\ &f(|x|-1) < 10 -8\Leftrightarrow \\\\ &f(|x|-1) < 2. \end{align*}

Αφού f(x)=-x^3-x+12, παρατηρουμε ότι για x =2 έχουμε f(2)=2. Oπότε:

    \begin{align*} &f(|x|-1) < 2 \Leftrightarrow \\\\ & f(|x|-1) < f(2) \stackrel{f\,\downarrow}{\Leftrightarrow}\\\\ &|x|-1<2\Leftrightarrow |x|<3 \Leftrightarrow -3<x<3. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
Μαστακας, Γαρατζιωτης εκδόσεις Κερδος.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Μία απάντηση στο “ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ”

  1. Παράθεμα: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *