Αρχείο κατηγορίας Γ Λυκείου

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΕΥΡΕΥΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ ΣΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Σχολιάστε

Μπορούμε να αποδείξουμε μια διπλή ανισότητα δύο μεταβλητών \alpha,\beta με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ ως εξής:

  • Βρίσκουμε μια συνάρτηση f, ώστε η ανισότητα να παίρνει τη μορφή:

        \[\kappa<\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}<\lambda\]

  • Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ για την f στο [\alpha,\beta]. Υπάρχει \xi\in(\alpha,\beta) ώστε:

        \[f'(\xi)=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\]

  • Ξεκινάμε από την ανισότητα \alpha<\xi<\beta και καταλήγουμε στην ανισότητα:

        \[\kappa<f'(\xi)<\lambda\]

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΥΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ ΣΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

    ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

    Σχολιάστε

    Αν έχουμε δεδομένο μια ανισοτική σχέση για την f' και το ζητούμενο είναι μια ανισοτική σχέση για την f, τότε ενδεχομένως η απόδειξη μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

    ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

    Σχολιάστε

    Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει \xi ώστε f''(\xi)=0, πρέπει να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle για την f' σε κάποιο διάστημα [x_1,x_2].

    Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε δύο αριθμούς x_1\neq x_2 με f'(x_1)=f'(x_2). Οι τιμές αυτές μπορούν να προκύψουν με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ σε δύο διαστήματα ξένα μεταξύ τους.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΜΤ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

    ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΥΠΑΡΞΙΑΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Θ.Μ.Τ

    1 σχόλιο

    Ενας ακόμα τρόποςγια να χωρίσουμε το διάστημα [\alpha,\beta] σε δύο υποδιαστήματα, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε την ύπαρξη κάποιου \xi\in(\alpha,\beta) που έχουμε εξασφαλίσει σε προηγούμενο ερώτημα.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΥΠΑΡΞΙΑΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Θ.Μ.Τ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΑΚΡΙΒΩΣ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

    2 σχόλια

    Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f(x)=0 έχει ακριβώς \nu, στο πλήθος ρίζες, εργαζόμαστε ως εξής:

  • Αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον \nu, στο πλήθος ρίζες.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΙΒΩΣ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟ ΠΟΛΥ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

    Σχολιάστε

    Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

        \[f(x)=0\]

    έχει το πολύ \nu ρίζες, εργαζόμαστε ως εξής:
    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟ ΠΟΛΥ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

    Σχολιάστε

    Παράδειγμα.1.
    Αν για την συνάρτηση f, ισχύει, για κάθε x, y \in (0,+\infty)

        \[f(x\cdot y) = f(x)+ f(y)\]

    Να δείξετε ότι
    i) Αν η f είναι συνεχής στο x_{0} =1, τότε είναι συνεχής στο (0, +\infty)
    ii) Αν η f είναι συνεχής για κάθε \alpha \in (0,+\infty) και \alpha \neq 1
    τότε η f είναι συνεχής σε όλο το διάστημα (0 , +\infty).
    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

    Σχολιάστε

    ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

    Σχολιάστε

    Παράδειγμα.
    Αν για την συνάρτηση, f:\rr \to \rr, ισχύει ότι:

        \[x-2x^{2}\leq f(x) \leq 5x^{2} +x, \,\, x\in \rr,\]

    Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x_{0} =0.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ →