Αρχείο ετικέτας ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Αν μια συνάρτηση $f: A\rightarrow\rr$ έχει ολικό ελάχιστο $\mu>0$ τότε ισχύει ότι $f(x)>0$ για κάθε $x\in A.$

Αν μια συνάρτηση $f: A\rightarrow\rr$ έχει ολικό μέγιστο $M<0$ τότε ισχύει ότι $f(x)<0$ για κάθε $x\in A.$

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Μια ανίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.

Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με $f(x)$ , οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή $f(x)\leq 0$ ή $f(x)\geq 0$

Με τη μέθοδο των παραγώγων αποδεικνύουμε ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη.

Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα $\rho$ της εξίσωσης $f(x)=0,$ οπότε η ανίσωση γίνεται $f(x)\leq f(\rho)$ ή $f(x)\geq f(\rho)$

Εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της $f.$

π.χ. αν

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Ισχύουν:

H σύνθεση $f\circ f^{^{-1}}$ είναι συνάρτηση ταυτοτική στο $f(A)$ δηλαδή:
$\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.$
H σύνθεση $f^{^{-1}}\circ f$ είναι συνάρτηση ταυτοτική στο $A_{f}$ δηλαδή:
$\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.$
Οι συναρτήσεις $f$ και $f^{^{-1}}$ έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Μια ανίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με $f(x)$ , οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή $f(x)\leq 0$ ή $f(x)\geq 0$
Αποδεικνύουμε ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη.
Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα $\rho$ της εξίσωσης $f(x)=0,$ οπότε η ανίσωση γίνεται $f(x)\leq f(\rho)$ ή $f(x)\geq f(\rho)$
Εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της $f.$

π.χ. αν