εξίσωση f(x)=x έχει μία τουλάχιστον ρίζα

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία $A(1,2)$ και $B(3,1)$ . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=x$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(1,3).$

Λύση

Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

$f(x)=x\Leftrightarrow f(x)-x=0$

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$g(x)=f(x)-x,\quad x\in\mathbb{R}$

Επειδή η $f$ διέρχεται από τα σημεία $A(1,2)$ και $Β(3,1)$ ισχύει ότι:

$f(1)=2\quad\text{και}\quad f(3)=1$

Η $f$ είναι συνεχής στο $\left[1 ,3\right]\subseteq \mathbb{R}$ απο υπόθεση άρα και η $g$ με $g(x)=f(x)-x,$ συνεχής ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε:

$g(1)=f(1)-1=2-1=1$

$g(3)=f(3)-3=1-3=-2$

Άρα ισχύει ότι $g(1)\cdot g(3)=-2<0$ . Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει, για την $g,$ ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα $x_{0}\in (1,3)$ με:

$g(x_{0})=0 \Leftrightarrow f(x_{0})-x_{0}=0 \Leftrightarrow f(x_{0})=x_{0}$

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά