Απόδειξη μοναδικότητας ρίζας σε διάστημα

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής $f(x)=0$ έχει μοναδική ρίζα στο $(\alpha,\beta)$ εργαζόμαστε ως εξής:

* Με τη βοήθεια του Θεωρήματος Bolzano βρίσκουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα $x_o\in (\alpha,\beta)$ .
* Αποδεικνύουμε ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη στο $(\alpha, \beta)$ , οπότε η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική.

Παράδειγμα
Δείξετε ότι η εξίσωση $x^3=-3x-1$ έχει μοναδική ρίζα στο $\mathbb{R}$ η οποία ανήκει στο διάστημα $(-1,0).$
Λύση
Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

$x^3=-3x-1\Leftrightarrow x^3+3x+1=0$

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$f(x)=x^3+3x+1, x\in\mathbb{R}$

Η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ , άρα και στο $[-1,0]$ ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε:

$f(-1)=(-1)^3+3(-1)+1=-3$

$f(0)=(0)^3+3(0)+1=1$

Άρα ισχύει ότι $f(-1)f(0)<0$ . Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(-1,0)$ .
Θα μελετήσουμε την $f$ ως προς τη μονοτονία.
Έστω $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ με $x_1<x_2$ . Έχουμε:

$x_1<x_2\Leftrightarrow x_{1}^3<x_{2}^3$

$x_1<x_2\Leftrightarrow3x_1<3x_2\Leftrightarrow3x_1+1<3x_2+1$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες και προκύπτει ότι:

$x_{1}^3+3x_1+1<x_{2}^3+3x_2+1\Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)$

Άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως η εξίσωση $f(x)=0$ έχει το πολύ μια ρίζα στο $\mathbb{R}.$ Σύμφωνα με τα παραπάνω η εξίσωση:

$f(x)=0\Leftrightarrow x^3+3x+1=0\Leftrightarrow x^3=-3x-1$

έχει ακριβώς μία ρίζα η οποία ανήκει στο διάστημα $(-1,0)$ .

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

Απόδειξη μοναδικότητας ρίζας σε διάστημα

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά