ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Rendered by QuickLaTeX.com

Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση $f:\rr\to\rr$ για την οποία ισχύει

$xf(x)-f(x)\leq x^2+2x-3$

για κάθε $x\in\rr$
Αν το $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός,
να βρεθεί το $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x).$

Λύση.

Απο υπόθεση το όριο $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, έστω $l\in \rr,$ άρα από το κριτήριο πλευρικών ορίων ισχύει ότι:

$\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1}f(x)=l\in \RR$

Για κάθε $x\in\RR$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} & xf(x)-f(x) \leq x^2+2x-3 \Leftrightarrow\\\\ & (x-1)f(x) \leq (x+3)(x-1)\qquad (1) \end{align*}$

Αν $x-1>0\Leftrightarrow x>1$ , τότε έχουμε ότι:

$\begin{align*} (1)\Rightarrow &f(x)\leq\dfrac{(x+3)(x-1)}{x-1}\Leftrightarrow \\\\ &f(x)\leq (x+3). \end{align*}$

Επομένως έχουμε:

$\begin{align*} &\lim_{x\to 1^{+}}f(x)\leq \lim_{x\to 1^{+}}(x+3)\Leftrightarrow\\\\ &\lim_{x \to 1^{+}}f(x)\leq 4\Leftrightarrow\\\\ & l\leq 4 \qquad (2) \end{align*}$

Αν $x-1<0\Leftrightarrow x<1$ , τότε έχουμε ότι:

$\begin{align*} (1)\Rightarrow & f(x)\geq\dfrac{(x+3)(x-1)}{x-1}\Leftrightarrow\\\\ & f(x)\geq x-3 \end{align*}$

Επομένως έχουμε:

$\begin{align*} &\lim_{x\to 1^{-}}f(x)\geq \lim_{x\to 1^{-}}(x+3)\Leftrightarrow\\\\ & \lim_{x \to 1^{-}}f(x)\geq 4\Leftrightarrow\\\\ & l\geq 4 \qquad (3) \end{align*}$