Αν έχουμε δεδομένο μια ανισοτική σχέση για την 
και το ζητούμενο είναι μια ανισοτική σχέση για την 
τότε ενδεχομένως η απόδειξη μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.
Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση 
για την οποία ισχύει
![\[f(4)=1 \quad \text{και} \quad 1<f'(x)<2 \quad \text{για κάθε} \quad x\in\rr\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f61728fad1c27f42ef2c1619e13d4f91_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
να αποδείξετε ότι:
![\[-3<f(2)<-1.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f13a0fe7e31faa6da62fa77669fd00a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Λύση
Σκεπτικό επειδή στα δεδομένα της άσκησης ξέρουμε το 
και ζητάμε να δείξουμε μία ανισοτική σχέση για την 
εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την συνάρτηση, 
στο διάστημα ![[2,4].](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f6308410d994bc02dd3856c838157abe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Έχουμε ότι η είναι συνεχής στο ![[2,4]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de1af3ad3ac4b08ac82b1edeeeff80b4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
και παραγωγίσιμη στο 
άρα σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει 
τέτοιο ώστε:
![\[f'(\xi)= \frac{f(4)-f(2)}{4-2} =\frac{1-f(2)}{2}\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3fdef307279422a1443adb902e83f854_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Όμως ισχύει ότι:
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .