Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Στη περίπτωση που η συνάρτηση f, είναι ασυνεχής σε ένα σημείο x_{0} του πεδίου ορισμού της τότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

  • Αν \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\leq f(x_{0}) και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\leq f(x_{0}) και η f αυξάνεται αριστερά του x_{0} και φθίνει δεξιά του x_{0}, τότε στο x_{0} η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.
  • Αν \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\geq f(x_{0}) και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\geq f(x_{0}) και η f φθίνει αριστερά του x_{0} και αυξάνεται δεξιά του x_{0}, τότε στο x_{0} η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

Σε κάθε περίπτωση η σχεδίαση μιας πρόχειρης γραφικής παράστασης της συνάρτησης f κοντά στη περιοχή του x_{0} μας βοηθά στην απάντηση μας.

Παράδειγμα.
Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

    \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2+8x+10,$ &$ x\leq-2$ \\\\ $x^2-8,$ & $-2<x<2$\\\\ $x^2-6x+2,$ & $x\geq2.$ \end{tabular} \right. \]

Λύση
Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο -2 και στο 2. Έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x \to -2^-}f(x)=\\ &\lim_{x \to -2^-}(x^2+8x+10)= -2. \end{align*}

    \begin{align*} &\lim_{x \to -2^+}f(x)=\\ &\lim_{x \to -2^+}(x^2-8)=-4. \end{align*}

    \[f(-2)=-2.\]

Άρα η f δεν είναι συνεχής στο -2.
Επίσης έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x \to 2^-}f(x)=\\ &\lim_{x \to 2^-}(x^2+8x+10)=-4. \end{align*}

    \begin{align*} &\lim_{x \to 2^+}f(x)=\\ &\lim_{x \to 2^+}(x^2-8)=-6. \end{align*}

    \[f(2)=-6\]

Άρα η f δεν είναι συνεχής στο 2.
Για x<-2 έχουμε:

    \[f'(x)=2x+8\]

Για -2<x<2 έχουμε:

    \[f'(x)=2x\]

Για x>2 έχουμε:

    \[f'(x)=2x-6\]

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[\tiny{ \begin{tabular}{r r c c c c c c c c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $ } & & $-4$ & & $ -2$ & &$0$ & &$2$ & &$3$ & \multicolumn{1}{r|}{ } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ 2x+8$ } & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & $ |$ & $ $ & $|$ & $$ & $|$ & $$ & $|$ & \multicolumn{1}{r|}{ } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ 2x $ } & $ $ &$ |$ & $ $ &$ | $ & $ -$ & $0$ & $+$ & $|$ & $$ & $|$ & \multicolumn{1}{r|}{ } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ 2x-6 $ } & $ $ &$ |$ & $ $ &$ | $ & $ $ & $|$ & $$ & $|$ & $-$ & $0$ &\multicolumn{1}{r|}{ $+$ } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$ } & $ -$ &$ |$ & $ +$ & $ ||$ & $ -$ & $|$ & $+$ & $||$ & $-$ & $0$ & \multicolumn{1}{r|}{ $+$ } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ } & $ \searrowtail$ &$ |$ & $ \nearrowtail$ & $ |$ & $ \searrowtail$ & $|$ & $\nearrowtail$ & $|$ & $\searrowtail$ & $|$ & \multicolumn{1}{r|}{$\nearrowtail$} \\ \hline \\ & & T.E. & & T.M. & & T.E. & & & & T.E. & \\ \end{tabular}} \]

Παρατηρούμε ότι η f παρουσιάζει:
Στο -4 τοπικό ελάχιστο το f(-4)=-6
Στο 0 τοπικό ελάχιστο το f(0)=-8
Στο 3 τοπικό ελάχιστο το f(3)=-7

Για τον υπολογισμό των ακροτάυων στα σημεία ασυνέχειας x_{1}=-2 και x_{2}=2, έχουμε τα παρακάτω:

Rendered by QuickLaTeX.com

δηλαδη στο x_{1}=-2 έχουμε:
\displaystyle\lim_{x\to -2^{-}}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to -2^{-}}(x^2+8x+10)=-2=f(-2)
και
\displaystyle\lim_{x\to -2^{+}}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to -2^{+}}(x^2-8)=-4<f(-2).
Άρα η συνάρτηση f, στο x_{1}=-2, παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f(-2) =-2.

Στο x_{2}=2, έχουμε:

\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to -2^{-}}(x^2-8)=-4 >f(2)
και
\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to -2^{+}}(x^2-6x+2)=-6 =f(-2).
Άρα στο x_{2}=2, η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει ακρότατο.

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα, Στεργίου Νάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *