Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

    \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2+2x-6,$ &$x\leq2$ \\\\ $x^2-8x+14,$ & $ x>2$ \end{tabular} \right. \]

Λύση
Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 2. Έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x \to 2^-}f(x)=\\ &\lim_{x \to 2^-}(x^2+2x-6)=2 \end{align*}

    \begin{align*} &\lim_{x \to 2^+}f(x)=\\ &\lim_{x \to 2^+}(x^2-8x+14)=2 \end{align*}

    \[f(2)=2\]

Άρα η f είναι συνεχής στο 2.
Για x<2 έχουμε:

    \[f'(x)=2x+2\]

Για x>2 έχουμε:

    \[f'(x)=2x-8\]

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[ \begin{tabular}{r l c c c c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $} &{\tiny{$ -\infty$}}& & $-1$ & & $ 2$ & &$4$ &\multicolumn{1}{r|}{\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ 2x+2$ } & & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & $ |$ & $ $ & $|$ & \multicolumn{1}{r|}$ $ \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$2x-8 $ } & & $ $ &$ |$ & $ $ &$ | $ & $ -$ & $0$ & \multicolumn{1}{r|}{$+$} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$ } & & $ -$ &$ |$ & $ +$ & $ |$ & $ -$ & $0$ & \multicolumn{1}{r|}{$+$} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ } & & $ \searrowtail$ &$ |$ & $ \nearrowtail$ & $ |$ & $ \searrowtail$ & $|$ & \multicolumn{1}{r|}{$\nearrowtail$} \\ \hline & & &T.E. & & T.M. & & T.E. & \\ & & &$f(-1)$ & & $f(2)$ & & $f(4)$ & \end{tabular} \]

Παρατηρούμε ότι η f παρουσιάζει:
Στο -1 τοπικό ελάχιστο το f(-1)=-7.
Στο 0 τοπικό μέγιστο το f(2)=2.
Στο 1 τοπικό ελάχιστο το f(4)=-2.

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *