ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ

Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ δεν έχει ακρότατα, συνήθως εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, Υποθέτουμε δηλαδή ότι η $f$ παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο σημείο $x_0,$ το οποίο είναι εσωτερικό ενός διαστήματος $\Delta$ του πεδίου ορισμού της $f,$ οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει ότι $f'(x_0)=0.$ Με τη βοήθεια αυτής της σχέσης προσπαθούμε να καταλήξουμε σε άτοπο.

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)=x^3+\alpha x^2+\beta x+\gamma, \quad \alpha,\beta,\gamma\in\rr$

Αν ισχύει $\alpha^2<2\beta$ , να αποδείξετε ότι η $f$ δεν έχει τοπικά ακρότατα.
Λύση
Έστω ότι η $f$ παρουσιάζει ακρότατο στο $x_0\in\rr.$ Επιπλέον η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και το $x_0$ είναι εσωτερικό σημείο του $\rr$ . Σύμφωνα με το θεώρημα Fermat θα ισχύει ότι:

$f'(x_0)=0$

Όμως έχουμε:

$f'(x)=3x^2+2\alpha x+\beta$

Επομένως έχουμε:

$\begin{align*} &f'(x_0)=0 \Leftrightarrow\\ &3x_0^2+2\alpha x_0+\beta=0 \end{align*}$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα

$\begin{align*} &\Delta=4\alpha^2-12\beta=4(\alpha^2-3\beta)<-4\beta<0 \end{align*}$

Επειδή από υπόθεση $\alpha^{2}<2\beta\Rightarrow \alpha^{2}-3\beta <-\beta$
Επιπλέον $2\beta>\alpha^2\geq0\Rightarrow\beta>0.$

Συνεπώς η παράγωγος της συνάρτησης $f$ δεν έχει πραγματικές ρίζες, άρα η $f$ δεν παρουσιάζει ακρότατα στο $\rr.$

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά