ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Για να αποδείξουμε μια ανισότητα της μορφής

$A(x)\geq B(x) \quad \text{ή} \quad A(x)\leq B(x)$

μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση $f(x),$ οπότε η ανισότητα παίρνει τη μορφή
$f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0$
Μελετάμε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή ολικό μέγιστο το $0,$ οπότε αντίστοιχα θα ισχύει:
$f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0$

Παράδειγμα.1.
Να αποδείξετε ότι

$x^2\geq1+2lnx$

για κάθε $x>0.$
Λύση
Για κάθε $x>0$ έχουμε:

$\begin{align*} &x^2\geq1+2lnx \Leftrightarrow\\ &x^2-1-2lnx\geq0 \end{align*}$

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$f(x)=x^2-1-2lnx, \quad \text{με} \quad x>0$

Για κάθε $x>0$ έχουμε:

$\begin{align*} &f'(x)=\Big(x^2-1-2lnx\Big)'\Leftrightarrow\\ &f'(x)=2x-\frac{2}{x}\Leftrightarrow\\ &f'(x)=\frac{2x^2-2}{x}\Leftrightarrow\\ &f'(x)=\frac{2(x^2-1)}{x}. \end{align*}$

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της $f'$ και τη μονοτονία της $f$ :

$\begin{tabular}{r l c c c c c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $ } &{\tiny{$ -\infty$}}& & $-1$ & & $ 0$ & &$1$ & & \multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}} } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x^2-1$ } & & $ +$ & $ 0$ & $ -$ & $ |$ & $ -$ & $0$ & $+$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x $ } & & $ -$ &$ |$ & $ -$ &$ 0$ & $ +$ & $|$ & $+$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$ } & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25}$ ||$ & $ -$ & $0$ & $+$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ } & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25}{$ ||$} & $ \searrowtail$ & $|$ & $\nearrowtail$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline & & & & & & & O.E. & & \\ & & & & & & & $ f(1) =0$ & & \end{tabular}$

Παρατηρούμε ότι η $f$ παρουσιάζει στο $x_{0}=1$ ολικό ελάχιστο το $f(1)=0$ . Δηλαδή για κάθε $x>0$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &f(x)\geq min f \Leftrightarrow\\ &f(x)\geq f(0) \Leftrightarrow\\ &f(x)\geq 0 \Leftrightarrow\\ &x^2-1-2lnx\geq 0 \Leftrightarrow\\ &x^2\geq 1+2lnx. \end{align*}$

Παράδειγμα.2.
Να αποδείξετε ότι

$e^x-1\geq ln(x+1)$

για κάθε $x>-1.$

Λύση
Για κάθε $x>-1$ έχουμε:

$\begin{align*} &e^x-1\geq ln(x+1) \Leftrightarrow\\ &e^x-1- ln(x+1)\geq0 \end{align*}$

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$f(x)=e^x-1- ln(x+1), \quad \text{με} \quad x>-1$

Για κάθε $x>-1$ έχουμε:

$f'(x)=e^x-\frac{1}{x+1}$

και

$f''(x)=e^x+\frac{1}{(x+1)^2}>0$

Άρα η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα για κάθε $x>-1.$
Παρατηρούμε ότι $f'(0)=0,$ οπότε έχουμε:

$\begin{align*} &x>0 \stackrel{ f' \uparrowtail}{\Leftrightarrow}\\ &f'(x)>f'(0) \Leftrightarrow\\ &f'(x)>0 \end{align*}$

$\begin{align*} &-1<x<0 \stackrel{ f' \uparrowtail}{\Leftrightarrow}\\ &f'(x)<f'(0) \Leftrightarrow\\ &f'(x)<0 \end{align*}$

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της $f''$ και τη μονοτονία της $f'$ και της $f$ :

$\begin{tabular}{r l c c c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $ } &{\tiny{$ -\infty$}}& & $-1$ & & $ 0$ & & \multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}}} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f'' $ } & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25}{$ ||$} & $ +$ & $ |$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f' $ } & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25}{$ ||$} & $ -$ & $ 0$ & $ +$ &\multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{ $f $ } & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25}{$ ||$} & $ \searrowtail$ & $ |$ & $ \nearrowtail$ &\multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline & & & & & O.E. & & \\ & & & & & $f(0)=0$ & & \end{tabular}$

Παρατηρούμε ότι η $f$ παρουσιάζει στο $x_{0}=0$ ολικό ελάχιστο το $f(0)=0,$ Δηλαδή για κάθε $x>0$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &f(x)\geq min f \Leftrightarrow\\ &f(x)\geq f(0) \Leftrightarrow\\ &f(x)\geq 0 \Leftrightarrow\\ &e^x-1-ln(x+1)\geq 0 \Leftrightarrow\\ &e^x\geq1+ln(x+1) \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά