Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f,g:A\rightarrow\rr.
Αν η f έχει ολικό ελάχιστο το \mu
και η g έχει ολικό μέγιστο το M
και ισχύει \mu\geq M,
τότε ισχύει ότι f(x)\geq g(x) για κάθε x\in A.

Παράδειγμα.1.
Δίνονται οι συναρτήσεις

    \[f(x)=2\sigma\upsilon\nu x +x^2 \quad \text{και} \quad g(x)=\frac{2ex}{e^x}\]

i..) Να μελετήσετε τις συναρτήσεις f και g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
ii..) Να αποδείξετε ότι

    \[2exe^{-x}-2 \sigma\upsilon\nu x \leq x^2\]

για κάθε x\in\rr.
Λύση
Η συνάρτηση

    \[f(x)=2\sigma\upsilon\nu x +x^2\]

έχει πεδίο ορισμού το \rr. Για κάθε x\in\rr είναι:

    \[f'(x)=-2\eta\mu x+2x=2(x-\eta\mu x)\]

Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου της συναρτησης και έχουμε:

    \begin{align*} &f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ &x-\eta\mu x=0 \Leftrightarrow\\ &\eta\mu x=x \Leftrightarrow x=0 \end{align*}

Βρίσκουμε το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης χρησιμοποιώντας τη ιδιότητα |\hm x| \leq |x|.

    \begin{align*} &f'(x)>0 \Leftrightarrow\\ &x-\eta\mu x>0 \Leftrightarrow\\ &\eta\mu x>x \Leftrightarrow x>0 \end{align*}

επίσης

    \begin{align*} &f'(x)<0 \Leftrightarrow\\ &x-\eta\mu x<0 \Leftrightarrow\\ &\eta\mu x<x \Leftrightarrow x<0 \end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[ \begin{tabular}{r l c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $ } &{\tiny{$ -\infty$}}& & $0$ & & \multicolumn{1}{r|}{{\quad\tiny{$ +\infty$}} } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f'$ } & & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f$ } & & $ \searrowtail$ & $ |$ & $ \nearrowtail$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline & & & O.E. & & \\ & & & $f(0)=2$ & & \end{tabular}\\ \]

Παρατηρούμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\infty,0] και γνησίως αύξουσα στο [0,+\infty), ενώ παρουσιάζει στο 0 ολικό ελάχιστο το f(0)=2.

Η συνάρτηση

    \[g(x)=\frac{2e\cdot x}{e^x}\]

έχει πεδίο ορισμού το \rr. Για κάθε x\in\rr είναι:

    \begin{align*} &g'(x)=\Big(\frac{2e\cdot x}{e^x}\Big)'\\\\ &g'(x)=\frac{2e\cdot e^x-2e\cdot x\cdot e^x}{e^{2x}}\\\\ &g'(x)=\frac{2e\cdot e^x(1-x)}{e^{2x}}\\\\ &g'(x)=\frac{2e(1-x)}{e^x} \end{align*}

Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου της συνάρτησης.
Έχουμε:

    \begin{align*} g'(x)&=0 \Leftrightarrow \frac{2e(1-x)}{e^x}=0\Leftrightarrow\\ &1-x=0 \Leftrightarrow x=1. \end{align*}

Βρίσκουμε το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης

    \begin{align*} g'(x)>0 &\Leftrightarrow \frac{2e(1-x)}{e^x}>0 \Leftrightarrow\\ &1-x>0 \Leftrightarrow x<1 \end{align*}

Επίσης

    \begin{align*} g'(x)<0& \Leftrightarrow\frac{2e(1-x)}{e^x}<0 \Leftrightarrow\\ &1-x<0 \Leftrightarrow x>1 \end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[ \begin{tabular}{r l c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $ } &{\tiny{$ -\infty$}}& & $1$ & &\multicolumn{1}{r|}{ {\quad\tiny{$ +\infty$}} } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ g'$ } & & $ +$ & $ 0$ & $ -$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ g$ } & & $ \nearrowtail$ & $ |$ & $ \searrowtail$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline & & & O.M. & & \\ & & & $g(1)=2$ & & \end{tabular}\\ \]

Παρατηρούμε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,+\infty) και γνησίως αύξουσα στο (-\infty,1], ενώ παρουσιάζει στο 0 ολικό μέγιστο το g(1)=2.
ii..) Η f έχει ολικό ελάχιστο το 2, άρα για κάθε x\in\rr ισχύει:

    \[f(x)\geq2 \quad (1)\]

Η g έχει ολικό ελάχιστο το 2, άρα για κάθε x\in\rr ισχύει:

    \[g(x)\leq2 \quad (2)\]

Απο τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει για κάθε x\in\rr ισχύει ότι:

    \begin{align*} &f(x)\geq g(x) \Leftrightarrow\\ &2\sigma\upsilon\nu x+x^2\geq \frac{2ex}{e^x} \Leftrightarrow\\ & 2\sigma\upsilon\nu x+x^2\geq2exe^{-x} \Leftrightarrow\\ &2exe^{-x}-2 \sigma\upsilon\nu x \leq x^2 \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *