ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, μια συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής στο κλειστό $[\alpha,\beta]$ παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο $[\alpha,\beta].$ Δηλαδή υπάρχουν με $f(x_1)=\mu$ και $f(x_2)=M,$
ώστε $\mu\leq f(x)\leq M$ για κάθε $x\in[\alpha,\beta].$

$x_1,x_2$

$\alpha,\beta$

$[\alpha,\beta],$

$f$

$x_1,x_2.$

$f'(x_1)=0$

$f'(x_2)=0.$

Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση $f:[2,5]\rightarrow\rr$ , δύο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει

$f(3)<f(2)<f(5)<f(4)$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(2,5)$ τέτοιο ώστε $f''(\xi)=0.$
Λύση
Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα $[2,5]$ . Σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής η $f$ παίρνει στο $[2,5]$ μία μέγιστη τιμή $M$ και μία ελάχιστη τιμή $\mu$ . Δηλαδή υπάρχουν $x_1,x_2\in(2,5)$ με

$f(x_1)=\mu \quad \text{και} \quad f(x_2)=M$

ώστε να ισχύει:

$\mu\leq f(x)\leq M$

για κάθε $x\in[2,5]$
‘Ομως η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή δεν είναι στις θέσεις $2$ και $5$ αφού από τη σχέση

$f(3)<f(2)<f(5)<f(4)$

προκύπτει ότι υπάρχει μία τουλάχιστον τιμή μικρότερη από τις $f(2)$ και $f(5)$ . Επομένως ισχύει ότι $x_1,x_2\in(2,5)$ . Άρα από το θεώρημα Fermat ισχύει ότι:

$f'(x_1)=0 \quad \text{και} \quad f'(x_2)=0$

Τέλος αν υποθέσουμε ότι $x_1<x_2$ τότε ισχύουν τα εξής:
Η $f'$ είναι συνεχής στο $[x_1,x_2].$
Η $f'$ είναι παραγωγίσιμη στο $(x_1,x_2)$ αφού η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $[2,5].$

$f'(x_1)=f'(x_2)=0$

Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον

$\xi\in(2,5)$

τέτοιο ώστε $f''(\xi)=0.$

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά