Η μέθοδος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες ή παραγοντική ολοκλήρωση για το ορισμένο ολοκλήρωμα εκφράζεται απο τον τύπο:
![\[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)g'(x)dx=\Big{[}f(x)g(x)\Big{]}^{\beta}_{\alpha}-\int_{\alpha}^{\beta} f'(x)g(x)dx\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa7f038ea6e29f22053b5df6fed7a049_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
όπου 
και 
είναι συνεχής συναρτήσεις στο ![[\alpha,\beta].](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-57722b7b7350f14be9b7c80cda530914_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Παράδειγμα.1.
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα 
Λύση
Για τον υπολογισμό θα κάνουμε χρήση της παραγοντικής ολοκλήρωσης
![\begin{align*} \dint_{0}^{1} x\cdot e^{x}dx = &\dint_{0}^{1} x\cdot \Big(e^{x}\Big)'dx = \\\\ &=\Big[ x \cdot e^{x} \Big]_{0}^{1} - \dint_{0}^{1} (x)'\cdot e^{x}dx = \\\\ & =(1\cdot e^{1})- (0\cdot e^{0}) -\dint_{0}^{1} 1 \cdot e^{x}dx = \\\\ &= e -\dint_{0}^{1} e^{x}dx = \\\\ &=e -\Big[e^{x}\Big]_{0}^{1} = \\\\ &= e -(e^{1} -e^{0}) = e - e +1 =1. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f3f27515a3553fb9b97070ca957c5bf9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Έστω 
και 
ένα πολυώνυμο.
Ολοκληρώματα της μορφής
και ένα πολυώνυμο.Ολοκληρώματα της μορφής
![\[\int_{\alpha}^{\beta} P(x)\cdot e^{\kappa x + \lambda}dx\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5879f6314fe679abf6053b37b43f22b2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας το εκθετικό ως παράγωγο μιας αρχικής του. Συγκεκριμένα είναι
![\[e^{\kappa x +\lambda}=\Bigg(\dfrac{e^{\kappa x+\lambda}}{\kappa}\Bigg)'\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d9d60907b0f8897b2b339bf819b5d51_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Παράδειγμα.2.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
![\[\int_{0}^{1}x^2e^{2x}dx\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09637996a5299d161426ef635b59fc66_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Λύση
Έχουμε:
![\begin{align*} &\int_{0}^{1}x^2\cdot e^{2x}dx=\int_{0}^{1}x^2\cdot\Big(\dfrac{e^{2x}}{2}\Big)'dx=\\\\ &\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\int_{0}^{1}(x^2)'\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}=\\\\ &\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\int_{0}^{1}2x\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}dx=\\\\ &\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\int_{0}^{1}x\cdot e^{2x} dx=\\\\ &\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\int_{0}^{1}x\cdot\Big(\dfrac{e^{2x}}{2}\Big)'dx=\\\\ &\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\Bigg\{\Big{[}x\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\int_{0}^{1}(x)'\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}dx\Bigg\}=\\\\ &=\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\Bigg\{\Big{[}x\cdot e^{2x}\Big{]}^{1}_{0}-\int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}}{2}dx\Bigg\}=\\\\ &=\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\Bigg\{\big{[}x\cdot e^{2x}\Big{]}^{1}_{0}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{2x}dx\Bigg\}=\\\\ &=\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\Bigg\{\big{[}x\cdot e^{2x}\Big{]}^{1}_{0}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} \Big{(}\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{)}'dx\Bigg\}=\\\\ &=\Big{[}x^2\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}-\Big{[}x \cdot e^{2x}\Big{]}^{1}_{0}+\dfrac{1}{2}\Big{[}\dfrac{e^{2x}}{2}\Big{]}^{1}_{0}=\\\\ &=\dfrac{e^2}{2}-e^2+\dfrac{e^2}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{-e^{2}-1}{4}. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87544cbf8b56c6f4b4923c75844a57d2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .
Καλησπέρα σας κι ευχαριστώ πολύ πολύ για το υλικό που ανεβάζεται
Έχω την εξής απορία:
Στο πχ2 στη 2η σειρά στο ολοκλήρωμα, δεν θα έπρεπε να είναι (e^2x)/2? Δεν ξέρω αν μου έχει κολλήσει λάθος ο τύπος αλλά νομίζω πως έτσι είναι
Καλή συνέχεια
Έχετε απόλυτο δίκιο. Το σχόλιο σας βοήθησε στον εντοπισμό και τη διόρθωση του αριθμητικού λάθους.
Σας ευχαριστώ πολύ!