Έστω 
και 
ένα πολυώνυμο. Ολοκληρώματα της μορφής
και ένα πολυώνυμο. Ολοκληρώματα της μορφής
![\[\int_{\alpha}^{\beta} P(x)\hm(\kappa x+\lambda)dx \quad \text{ή} \quad \int_{\alpha}^{\beta} P(x)\syn(\kappa x+\lambda)dx\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00791503b9224fe165b76feb9f838a7a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας το τριγωνομετρικό όρο ως παράγωγο μιας αρχικής του. Συγκεκριμένα είναι
![\[ \hm(\kappa x+\lambda)=\Bigg(-\dfrac{\syn(\kappa x+\lambda)}{\kappa}\Bigg)' \]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2fc118e17acc7904953a03909545bbc8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ΚΑΙ
![\[\syn(\kappa x+\lambda)=\Bigg(\dfrac{\hm(\kappa x+\lambda)}{\kappa}\Bigg)' \]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4127afb98bc09c6ae4108ba6e6f40603_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Παράδειγμα.1.
Να υπολογισθεί το ορισμένο ολοκλήρωμα 
Λύση
Έχοντας υπόψιν τον κανόνα της παραγοντικής ολοκλήρωσης:
![\[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)g'(x)dx=\Big{[}f(x)g(x)\Big{]}^{\beta}_{\alpha}-\int_{\alpha}^{\beta} f'(x)g(x)dx\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa7f038ea6e29f22053b5df6fed7a049_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ισχύει:
![\begin{align*} & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cdot \hm x \,\,dx =\\\\ & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cdot (-\syn x)' \,\,dx =\\\\ &\Big[ x\cdot (-\syn x)\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2} } - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x)'\cdot (-\syn x) \,\,dx =\\\\ -&\Big[ x\cdot \syn x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2} } + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x)'\cdot \syn x \,\,dx =\\\\ -&\Big[ x\cdot \syn x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2} } + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \syn x \,\,dx =\\\\ -&\Big[ x\cdot \syn x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2} } + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \big(\hm x\big)' \,\,dx =\\\\ -&\Big[ x\cdot \syn x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2} } + \Big [\hm x \Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\\\\ -&\Big[ \big(\dfrac{\pi}{2}\cdot \syn \dfrac{\pi}{2}\big)- 0\Big] + \Big [\hm \dfrac{\pi}{2} -\hm 0 \Big] = \hm\dfrac{\pi}{2} =1.\\\\ \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a7c993039bcb325892439ff8ea532c9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Παράδειγμα.2.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
![\[\int_{0}^{\pi}x\sigma\upsilon\nu2xdx\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ce99ea13af3b2233aa8373b0ba014612_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Λύση
Έχουμε:
![\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}x\syn 2xdx&=&\int_{0}^{\pi}x\cdot\Big(\dfrac{\hm 2x}{2}\Big)'dx\\\\\\ &=&\Bigg{[}x\cdot \dfrac{\hm 2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}-\int_{0}^{\pi}(x)'\cdot\dfrac{\hm 2x}{2}dx\\\\\\ &=&\Bigg{[}x\cdot\dfrac{\hm 2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\hm 2xdx\\\\\\ &=&\Bigg{[}x\cdot\dfrac{\hm 2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\Big(-\dfrac{\syn 2x}{2}\Big)'dx\\\\\\ &=&\Bigg{[}x\cdot\dfrac{\hm 2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}-\dfrac{1}{2}\Bigg{[}-\dfrac{\sigma\upsilon\nu2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}\\\\\\ &=&\Bigg{[}x\cdot\dfrac{\hm 2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}+\dfrac{1}{2}\Bigg{[}\dfrac{\sigma\upsilon\nu2x}{2}\Bigg{]}^{\pi}_{0}\\\\\\ &=&\Big(\pi\dfrac{\eta\mu2\pi}{2}-0\Big)+\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{\sigma\upsilon\nu2\pi}{2}-\dfrac{\sigma\upsilon\nu0}{2}\Big)\\\\\\ &=&0+\dfrac{1}{2}\cdot\Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\Big)=0 \end{eqnarray*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ae2fadfbef0f8da6a1df0445cd2ff9f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .
Μία απάντηση στο “ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΠΙ ΗΜΙΤΟΝΟ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ”