Τα ολοκληρώματα της μορφής γινομένου, πολυωνυμικής επι λογαριθμικής
![\[\int_{\alpha}^{\beta} P(x)\ln(\kappa x)dx,\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0196d79a6fec627c1bbf158e075d6651_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
με 
και 
ένα πολυώνυμο, μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας το πολυώνυμο ως παράγωγο μιας αρχικής του.
Παράδειγμα.1.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 
Λύση
Έχοντας υπόψιν τον κανόνα της παραγοντικής ολοκλήρωσης:
![\[\color{white} \int_{\alpha}^{\beta} f'(x)g(x)dx=\Big{[}f(x)g(x)\Big{]}^{\beta}_{\alpha}-\int_{\alpha}^{\beta} f(x)g'(x)dx\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b873fd5d9e7f87d34e7cd40515f7665_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
γράφουμε:
![\begin{align*} & \int_{1}^{e}\ln x \, dx =\\\\ & \int_{1}^{e} 1 \cdot \ln x \, dx =\\\\ & \int_{1}^{e} (x)'\cdot \ln x \, dx =\\\\ & \Big[x\cdot \ln x \Big]_{1}^{e} -\int_{1}^{e} x\cdot \big(\ln x\big)' \, dx =\\\\ & \Big[x\cdot \ln x \Big]_{1}^{e} -\int_{1}^{e} x\cdot \dfrac{1}{x} \, dx =\\\\ & \Big[x\cdot \ln x \Big]_{1}^{e} -\int_{1}^{e} 1 \, dx =\\\\ & \Big[x\cdot \ln x \Big]_{1}^{e} -\int_{1}^{e} (x)' \, dx =\\\\ & \Big[x\cdot \ln x \Big]_{1}^{e} - \Big[x \Big]_{1}^{e}\, dx =\\\\ &( e\cdot \ln e -1\cdot \ln 1) -(e -1)=\\\\ &( e -0) -(e -1)=\\\\ & e -e +1 =1. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b0e4ab88b117916687839ee87b8c4f3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Παράδειγμα.2.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
![\[\int_{1}^{2}(2x-3)\ln xdx\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-396a2b01c86be19d04f0f911c17b2d1f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Λύση
Έχουμε:
![\begin{align*} &\int_{1}^{2}(2x-3)\ln x \,dx=\\\\ &\int_{1}^{2}(x^2-3x)'\ln x \,dx=\\\\ &\big{[}(x^2-3x)\ln x\big{]}^{2}_{1}-\int_{1}^{2}(x^2-3x)(\ln x)'dx=\\\\ &\big{[}(x^2-3x)\ln x\big{]}^{2}_{1}-\int_{1}^{2}(x^2-3x)\dfrac{1}{x}dx=\\\\ &\big{[}(x^2-3x)\ln x\big{]}^{2}_{1}-\int_{1}^{2}(x-3)dx=\\\\ &\big{[}(x^2-3x)\ln x\big{]}^{2}_{1}-\big{[}\dfrac{x^2}{2}-3x\big{]}^{2}_{1}=\\\\ &\big[(4-6)\ln 2-(1-3)\ln 1\big]-\big[2-6-\dfrac{1}{2}+3\big]=\\\\ &-2\ln 2+\dfrac{3}{2} \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f46bebd9d571f8f55e5292cdf7fe8db7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .