Γ Λυκείου / ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ

ΕΥΘΕΙΑ Η ΟΠΟΙΑ ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Έστω f:A\to\rr μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x_{0}\in A_{f}. Θα λέμε ότι

  • Η ευθεία (\epsilon):y =\lambda x +\beta, εφάπτεται στην γραφικη παράσταση της συνάρτησης, C_{f}, στο σημείο M\big(x_{0},f(x_{0})\big) αν και μόνο αν το σημειο Μ ανηκει στην C_{f} και στην ευθεία (\epsilon) και ο συντελεστης διέυθυνσης \lambda_{\epsilon}, της ευθείας (\epsilon) είναι ίσος με την παράγωγο της f στο x_{0} δηλαδή:

        \[\begin{cases} M\big(x_{0},f(x_{0})\big)\in (\epsilon):y =\lambda x+\beta\Leftrightarrow f(x_{0})=\lambda x_{0}+\beta\\\\ \quad \text{και} \\\\ f'(x_{0})=\lambda \end{cases}\]

    • Rendered by QuickLaTeX.com

    Παράδειγμα
    Να δείξετε ότι η ευθεία (\epsilon):y = 3x-2, εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x^{2}+x-1 και να βρεθεί το σημείο επαφής.

    Λύση

    Η συνάρτηση f(x)=x^{2}+x-1,\,\,(1) έχει πεδίο ορισμού το A_{f}= \rr, με παράγωγο f'(x)=2x+1,\,\,(2) για κάθε x\in \rr.

    Για να είναι η ευθεία (\epsilon):y = 3x-2, εφαπτομένη της γραφικής παράστασης, της συνάρτησης f, με τύπο f(x)=x^{2}+x-1, θα πρέπει να υπάρχει ένα x_{0}\in A_{f}= \rr, τέτοιο ώστε το σημείο M(x_{0},y_{0}) να είναι κοινο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης C_{f} και της ευθείας (\epsilon), και επιπλέον η κλίση \lambda_{\epsilon}, της ευθείας (\epsilon) να είναι ίση με την παράγωγο της συνάρτησης f στο x_{0} δηλαδή \lambda_{\epsilon}= f'(x_{0})

    Δηλαδή

        \begin{align*} &\begin{cases} M(x_{0},y_{0})\in C_{f}\\\\ \text{και}\\\\ M(x_{0},y_{0})\in (\epsilon):y = 3x-2\\\\ \text{και}\\\\ f'(x_{0})= \lambda_{(\epsilon)} \end{cases} \Leftrightarrow \\\\ &\begin{cases} y_{0}=f(x_{0}),\,\,(3)\\\\ \text{και}\\\\ y_{0} = 3x_{0}-2\\\\ \text{και}\\\\ f'(x_{0})= 3 \end{cases} \xLeftrightarrow{(3)} \\\\ &\begin{cases} f(x_{0}) = 3x_{0}-2\\\\ \text{και}\\\\ f'(x_{0})= 3 \end{cases} \xLeftrightarrow[(2)]{(1)} \\\\ &\begin{cases} x_{0}^{2}+x_{0}-1 = 3x_{0}-2\\\\ \text{και}\\\\ 2x_{0}+1= 3 \end{cases} \end{align*}

    Από το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε την τιμή του x_{0}

        \begin{align*} &\begin{cases} x_{0}^{2}+x_{0}-1 - 3x_{0}+2=0\\\\ \text{και}\\\\ 2x_{0}+1- 3=0 \end{cases} \Leftrightarrow \\\\ &\begin{cases} x_{0}^{2}-2x_{0}+1=0\\\\ \text{και}\\\\ 2x_{0}-2=0 \end{cases} \Leftrightarrow \\\\ &\begin{cases} (x_{0}-1)^{2}=0\\\\ \text{και}\\\\ 2(x_{0}-1)=0 \end{cases} \Leftrightarrow \\\\ &\begin{cases} (x_{0}-1)^{2}=0\\\\ \text{και}\\\\ x_{0}-1=0 \end{cases} \Leftrightarrow x_{0}=1 \end{align*}

    Άρα για x=x_{0}=1 έχουμε ότι f(1)=1^{2}+1-1=1.

    Τελικά η ευθεία (\epsilon):y = 3x-2, εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x^{2}+x-1 στο σημείο M(1,1)

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Μπάρλας.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *