ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Rendered by QuickLaTeX.com

Έστω $f, g$ δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $x_{0},$ Η ευθεία $(\epsilon): y = \lambda x +\beta,$ είναι κοινή εφαπτομένη των
$C_{f}$ και $C_{g}$ στο κοινο τους σημείο με τετμημένη $x_{0},$ αν και μόνο αν:

$\begin{cases} f(x_{0})=g(x_{0})\\ \quad \text{και} \\ f'(x_{0})=g'(x_{0})=\lambda \end{cases}$

Συνεπώς η εφαπτομένη $(\epsilon)$ θα υπολογίζεται με έναν απο τους παρακάτω τύπους:
$(\epsilon): y -f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot (x- x_{0})$
ή
$(\epsilon): y -g(x_{0})= g'(x_{0})\cdot (x- x_{0})$

Παράδειγμα.1.

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=x^{2}+3x+3$ και $g(x) = -\dfrac{1}{x}.$ Να βρεθεί η κοινη εφαπτομένη των $C_{f}$ και $C_{g}$ στο κοινό τους σημείο.

Λύση
Η συνάρτηση $f$ με $f(x)=x^{2}+3x+3$ ειναι παραγωγίσιμη στο $A_{f}=\rr$ και η συνάρτηση $g$ με $g(x) = -\dfrac{1}{x}$ είναι παραγωγίσιμη στο $A_{g}= \rr^{*}$

Έυρεση του κοινού τους σημείου.

$C_{f}$

$y = f(x)$

$C_{g}$

$y =g(x)$

$f(x)= g(x)$

$x\neq 0.$

Επομένως:

$\begin{align*} &f(x) = g(x) \\\\ &x^{2}+3x+3= -\dfrac{1}{x}\\\\ &x^{3}+3x^{2}+3x=-1 \\\\ &x^{3}+3x^{2}+3x+1=0 \\\\ &(x+1)^{3}=0\\\\ &x+1= 0 \\\\ &x=-1 \neq 0 \end{align*}$

Οπότε το κοινό τους σημείο των $C_{f}$ και $C_{g}$ έχει τετμημένη $x_{0}=-1$

με $f({x_{0}) =g(x_{0})$ έχουμε $f(-1)=g(-1) = -1$

Αρα το κοινό τους σημείο είναι το $M(-1,-1)$

Επιλέον έχουμε:
$f'(x)= (x^{2}+3x+3)' \Leftrightarrow f'(x)=2x+3$
και για $x_{0}=-1$ είναι $f'(-1)=1$

επίσης

$g'(x)=\Big(-\dfrac{1}{x}\Big)'\Leftrightarrow g'(x) = \dfrac{1}{x^{2}}$
και για $x_{0}=-1$ είναι $g'(1)=1$

Τελικά αφου

$\begin{cases} f(-1)=g(-1)\\ \quad \text{και} \\ f'(-1)=g'(-1) \end{cases}$

Οι συναρτήσεις $f,g$ έχουν στο κοινό τους σημείο $M(-1,-1)$ κοινή εφαπτομένη με τύπο:
$(\epsilon): y -f(-1)= f'(-1)\cdot (x+1)$
$(\epsilon): y -1= 1\cdot (x+1)$

$(\epsilon): y = x +2$

Όπως φαινεται στο παρακάτω σχήμα.

Rendered by QuickLaTeX.com

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Μπάρλας.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Μία απάντηση στο “ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά