ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Print Friendly, PDF & Email

 

Συντεταγμένες μέσου τμήματος
Έστω AB ένα ευθύγραμμο τμήμα με Α(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και Β(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2). Αν Μ(\mathrm{x_M},\mathrm{y_M}) είναι το μέσο του τμήματος AB, τότε ισχύει ότι:

    \[\mathrm{x_M}=\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2}{2} \quad \text{και}\quad \mathrm{y_M}=\frac{\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2}{2}\]

Απόδειξη
Έστω AB ένα ευθύγραμμο τμήμα με Α(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και Β(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) και Μ(\mathrm{x_M},\mathrm{y_M}) το μέσο του τμήματος AB, τότε ορίζουμε τις αντίστοιχες διανυσματικές ακτίνες

    \[\overrightarrow{OM}=(\mathrm{x_M},\mathrm{y_M}),\,\, \overrightarrow{OA}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) \quad \text{ και} \quad \overrightarrow{OB}=(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2).\]

Για την διανυσματικη ακτίνα μέσου ξέρουμε οτι ισχύει:

    \[\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\]

Διανυσματική ακτίνα μέσου

    \begin{align*} &\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\Rightarrow\\\\ &(\mathrm{x_M},\mathrm{y_M}) = \frac{1}{2} \cdot \Big( (\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) + (\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2)\Big)\Rightarrow\\\\ &(\mathrm{x_M},\mathrm{y_M}) = \frac{1}{2} \cdot \Big( \mathrm{x}_1+ \mathrm{x}_2,\mathrm{y}_1 +\mathrm{y}_2 \Big)\Rightarrow\\\\ &(\mathrm{x_M},\mathrm{y_M}) = \Bigg(\frac{\mathrm{x}_1+ \mathrm{x}_2}{2} ,\frac{ \mathrm{y}_1 +\mathrm{y}_2 }{2}\Bigg)\Rightarrow\\\\ \end{align*}

    \[\mathrm{x_M}=\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2}{2} \quad \text{και}\quad \mathrm{y_M}=\frac{\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2}{2}\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
α.)

    Το παραπάνω ερώτημα μπορεί να δοθεί και με διαφορετική διατύπωση:

Να βρεθεί το σημείο Μ(\mathrm{x_M},\mathrm{y_M}) ώστε το συμμετρικό του A(-3,1) ως προς το M να είναι το B(9,-5).

Το σημείο Μ(\mathrm{x_M},\mathrm{y_M}) είναι το μέσο του ΑΒ,
με A(-3,1) και B(9,-5) άρα:

Το  Μ  μέσο του ΑΒ ή αλλιώς Το Β είναι το συμμετρικό του Α ως προς το Μ

    \[\mathrm{x_M}=\frac{\mathrm{x_A+x_B}}{2}=\frac{-3+9}{2}=\frac{6}{2}=3\]

    \[\mathrm{y_M}=\frac{\mathrm{y_A+y_B}}{2}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2\]

Επομένως είναι Μ(3,-2).

β.)

    Το παραπάνω ερώτημα μπορεί να δοθεί και με διαφορετική διατύπωση:

Να βρεθει το σημείο \Gamma(\mathrm{x_\Gamma},\mathrm{y_\Gamma}) το οποίο είναι το συμμετρικό του Α(-3,1) ωςπρος το Β(9,-5),

Το σημείο Β(\mathrm{x_B},\mathrm{y_B}) είναι το μέσο του Α\Gamma,  με Β(9,-5),  Α(-3,1) και \Gamma(\mathrm{x_\Gamma},\mathrm{y_\Gamma}) άρα έχουμε:

Τα σημεία Α και Γ είναι συμμετρικά μεταξύ τους με κέντρο συμμετρίας το Β

    \begin{align*} &\mathrm{x_Β}=\frac{\mathrm{x_A+x_{\Gamma}}}{2} \Leftrightarrow \\\\ &9=\frac{-3+\mathrm{x_{\Gamma}}}{2} \Leftrightarrow\\\\ &9\cdot 2=-3+\mathrm{x_{\Gamma}} \Leftrightarrow\\\\ &18=-3+\mathrm{x_{\Gamma}} \Leftrightarrow \\\\ &18+3=\mathrm{x_{\Gamma}} \Leftrightarrow \\\\ &\mathrm{x_{\Gamma}}=21 \end{align*}

επίσης

    \begin{align*} &\mathrm{y_Β}=\frac{\mathrm{y_A+y_{\Gamma}}}{2} \Leftrightarrow\\\\ &-5=\frac{1+\mathrm{y_{\Gamma}}}{2} \Leftrightarrow\\\\ &-5\cdot 2=1+\mathrm{y_{\Gamma}} \Leftrightarrow\\\\ & -10=1+\mathrm{y_{\Gamma}} \Leftrightarrow \\\\ & -10-1=\mathrm{y_{\Gamma}} \Leftrightarrow \\\\ & \mathrm{y_{\Gamma}}=-11 \end{align*}

Επομένως είναι \Gamma(21,-11).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

  1. Να βρεθεί το μέσο M του ευθύγραμμου τμήματος AB με A(2,4) και B(6,8)
  2. Να βρεθεί το σημείo B ώστε το ευθύγραμμο τμήμα AB με A(-4,6) να έχει μέσο το σημείο M(2,-8)
  3. Να βρείτε το συμμετρικό του Α(1, -2) ως προς το Β(-1, 3).
  4. Αν το σημείο Β είναι το συμμετρικό του Α(-1, 2) ως προς το Κ(1, 2), να βρείτε το Β.
  5. Έστω το σημείο Α(-2, 3). Να βρείτε το σημείο Β όταν:
    1. τα Α, Β είναι συμμετρικά ως προς το Κ(0, 1),
    2. τα Α, Β είναι αντιδιαμετρικά σημεία κύκλου με κέντρο Κ(-1, 0).
  6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τα σημεία Κ(-2, 2), Λ(-1, 0), M(2, -1) αντίστοιχα. Να βρείτε τις κορυφές του Α, Β, Γ.
  7. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τεταγμένες δύο σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης x^2 - (\lambda^3 - 2)x - 2 = 0. Να βρείτε την τιμή του \lambda \in \mathbb{R}, ώστε το μέσο του τμήματος ΑΒ να έχει τεταγμένη ίση με 3.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *