12 Φεβρουαρίου 2020 - Ν. Α. Διακόπουλος

Έστω μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και 1-1. Για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος της αντίστροφης συνάρτησης της μορφής

$\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx$

όπου ο υπολογισμός της αντίστροφης είναι αδύνατος, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

θέτουμε $u =f^{-1}(x)\Rightarrow f(u) = x,$ οπότε $f'(u)du = dx$

Βρίσκουμε τα άκρα ολοκλήρωσης:

για $x=\alpha$ έχουμε: $f(u) = \alpha \Leftrightarrow f(u) = f(\gamma)\Leftrightarrow u = \gamma.$

για $x=\beta$ έχουμε: $f(u) = \beta \Leftrightarrow f(u) = f(\delta)\Leftrightarrow u = \delta.$

$\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx =\int_{\gamma}^{ \delta} u \cdot f'(u)\, du$

Και συνεχίζουμε την επίλυση με τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Ν. Α. Διακόπουλος