ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΔΙΑΜΕΣΟ ΕΥΘΕΙΑ

Γεωμετρικό πρόβλημα με δεδομένη τη διάμεσο ευθεία

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Το σημείο τομής $Α(x_{A},y_{A})$ των ευθειών $(\epsilon_{1}): \mathrm{y} = -2\mathrm{x} + 13$ και $(\zeta): \mathrm{y} = -5\mathrm{x} + 22,$ έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος που ορίζουν οι εξισώσεις των ευθειών
Λύνουμε το σύστημα:

$\begin{align*} &\left\{\begin{array}{l}{(\epsilon_{1}):y=-2 x+13} \\ {(\zeta):y=-5 x+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{-5 x+22=-2 x+13} \\ {y=-5 x+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{-5 x+2x=-22+13} \\ {y=-5 x+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{-3 x=-9} \\ {y=-5 x+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{x=3} \\ {y=-5 x+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{x=3} \\ {y=-5 \cdot 3+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{x=3} \\ {y=-15+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{x=3} \\ {y=7}\end{array}\right\} \end{align*}$

Επομένως είναι $Α(3, 7).$

Το σημείο $\Gamma(\mathrm{x}_{\Gamma}, \mathrm{y}_{\Gamma})$ ανήκει στην ευθεία $(\epsilon_{1}): \mathrm{y} = -2\mathrm{x} + 13,$ οπότε οι συντεταγμένες του $\Gamma$ επαληθεύουν την εξίσωση της $(\epsilon_{1})$ άρα ισχύει ότι:

$\Gamma(\mathrm{x}_{\Gamma}, \mathrm{y}_{\Gamma} )\in (\epsilon_{1}): \mathrm{y} = -2\mathrm{x} + 13$

$\mathrm{y}_{\Gamma} = -2\mathrm{x}_{\Gamma} + 13$

οπότε είναι $\Gamma\big(\mathrm{x}_{\Gamma}\, ,\, -2\mathrm{x}_{\Gamma} + 13\big).$

Το $Μ(x_M , y_{M})$ είναι το μέσο του $Β\Gamma$ , άρα ισχύουν οι τύποι για τις συντεταγμένες μέσου:

$\mathrm{x}_{M} = \dfrac{\mathrm{x}_{B} + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2} = \frac{2 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2}$

και

$\begin{align*} \mathrm{y}_{M} &= \frac{\mathrm{y}_{B} + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2}\\\\ & = \frac{3-2\mathrm{x}_{\Gamma} + 13}{2}\\\\\ & = \frac{16 - 2\mathrm{x}_{\Gamma}}{2} \\\\ &= 8 - \mathrm{x}_{\Gamma}. \end{align*}$

δηλαδή είναι

$Μ\Big(\frac{2 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2},8 - \mathrm{x}_{\Gamma}\Big).$

Το σημείο $Μ(x_{M},y_{M})$ ανήκει στην ευθεία $(\zeta): \mathrm{y} = -5 \mathrm{x} + 22,$ οπότε οι συντεταγμένες του $M$ επαληθεύουν την εξίσωση της $(\zeta)$ άρα ισχύει ότι: