ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
1. Έχουμε:

$\begin{align*} \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-4}{3x-\hm 3x}= &\Big(\dfrac{0-4}{3\cdot 0 -\hm 0}\Big)\\\\\ = &\Big(\dfrac{-4}{0}\Big)\Big(\dfrac{-}{?}\Big) =?\infty \end{align*}$

Δηλαδή έχουμε όριο της μορφής $\Big(\dfrac{\alpha}{0}\Big)$ με $\alpha\neq 0,$ το οποίο θα μας δώσει $\infty$ αλλά επειδή δεν γνωρίζουμε το πρόσημο του παρονομαστή δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το πρόσημο του απείρου.

Γνωρίζουμε ότι για κάθε $x\in \rr$ ισχύει:

$|\hm x| \leq |x|$

To $``="$ ισχύει για $x=0$ MONON.
Oπότε θα ισχύει και για $x=3x$ έχουμε:

$|\hm 3x| \leq |3x| \Leftrigtharrow$

$-|3x|\leq \hm 3x \leq|3x| \Leftrigtharrow$

$-|3x|\leq \hm 3x \leq |3x| \quad (1)$

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

ΠΕΡ.1.

$x> 0 \Rightarrow \begin{cases} |3x| = 3x \\ \text{και}\\ x\to 0^{+} \end{cases}$
Οπότε

$(1) \Rightarrow - 3x < \hm 3x < 3x$

$\Rightarrow \begin{cases} -3x < \hm 3x \\ \text{και} \\ \hm 3x < 3x. \end{cases}$

απο τις παραπάνω διατάξεις κρατάμε την $\hm 3x < 3x$ απο όπου έχουμε

$0 < 3x - \hm 3x.$

Συνεπώς

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{x-4}{3x-\hm 3x}= \Big(\dfrac{-4}{0}\Big)\Big(\dfrac{-}{+}\Big) =+\infty$

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΠΕΡ.2.

$x<0 \Rightarrow \begin{cases} |3x| = -3x \\ \text{και}\\ x\to 0^{-} \end{cases}$
Οπότε

$(1) \Rightarrow - (-3x) < \hm 3x < - 3x$

$\Rightarrow 3x < \hm 3x < - 3x$

$\Rightarrow \begin{cases} 3x < \hm 3x \\ \text{και} \\ \hm 3x < -3x. \end{cases}$

απο τις παραπάνω διατάξεις κρατάμε την $3x <\hm 3x$ απο όπου έχουμε

$3x -\hm 3x < 0.$

Συνεπώς

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{x-4}{3x-\hm 3x}= \Big(\dfrac{-4}{0}\Big)\Big(\dfrac{-}{-}\Big) =-\infty.$

Από περ.1. και περ.2. έχουμε:

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{x-4}{3x-\hm 3x}\neq \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{x-4}{3x-\hm 3x}.$

Οπότε από κριτήριο πλευρικώ ορίων το όριο

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-4}{3x-\hm 3x}$

δέν υπάρχει.

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

2. Ισχύει ότι: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}+1}{\hm x} =\big( \dfrac{+1}{0}\big)\big(\dfrac{+}{?}\big) = ?\infty.$

Για το $\hm x,$ που είναι στον παρονομαστή, ξέρουμε ότι κοντά στο 0 δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο πράγμα που φαίνεται και απο τη γραφική παράσταση $y = \hm x.$

Δείτε τη συνέχεια της λύσης στο παράδειγμα 5 ΕΔΩ: ΟΡΙΟ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΟΡΙΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΜΗΔΕΝ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΔΙΑΦΟΡΟ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά