Β Λυκείου / Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ Η Ψ=Χ

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ
Η f έχει πεδίο ορισμού το \mathbb{A} = \mathbb{R}.
1) Για κάθε x \neq 0, έχουμε:

    \begin{eqnarray*} f(-x) &=& \dfrac{\eta\mu(-x)}{-x} \\ &=& \dfrac{-\eta\mu x}{-x} = f(x) \end{eqnarray*}

και f(0) = 1. Άρα η f είναι άρτια.
2) Αρκεί να δείξουμε ότι f(x) \leq 1, ~\forall x \in \mathbb{R}.
\bullet Για κάθε x > 0, έχουμε:

    \begin{eqnarray*} f(x) \leq 1 &\Leftrightarrow& \dfrac{\eta\mu x}{x} \leq 1 \\ &\Leftrightarrow& \eta\mu x < x \end{eqnarray*}

το οποίο ισχύει, αφού για x > 0 είναι:

    \begin{eqnarray*} |\eta\mu x| < |x| &\Rightarrow& |\eta\mu x| < x \\ \eta\mu x < x \end{eqnarray*}

\bullet Για x = 0 είναι f(0) = 1 \leq 1.

 

Άρα maxf = 1 στο [0, +\infty). Επειδή η f είναι άρτια έχουμε maxf = 1.

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

3) Είναι:
\bullet

    \begin{eqnarray*} f(x) = \dfrac{1}{x} &\Leftrightarrow& \dfrac{\eta\mu x}{x} = \dfrac{1}{x} \\ &\Leftrightarrow& \eta\mu x = 1 \\ &\Leftrightarrow& x = 2\kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}, ~\kappa \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}

Άρα τα κοινά σημεία της C_f με την υπερβολή είναι τα σημεία A_{\kappa} \bigg(2\kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{1}{2\kappa\pi +\frac{\pi}{2}}\bigg), ~\kappa \in \mathbb{Z}.
\bullet Όμοια βρίσκουμε ότι τα κοινά σημεία της C_f και της υπερβολής y = -\dfrac{1}{x} είναι τα σημεία B_{\kappa} \bigg(2\kappa\pi - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{1}{2\kappa\pi -\frac{\pi}{2}}\bigg), ~\kappa \in \mathbb{Z}.
ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ
4) Για κάθε x \neq 0, είναι |f(x)| = \bigg|\dfrac{\eta\mu x}{x}\bigg| = \dfrac{|\eta\mu x|}{|x|} \leq \dfrac{1}{|x|}.
Άρα -\dfrac{1}{|x|} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{|x|}, ~\forall x \neq 0 ~(1)
Η C_f φαίνεται στο επόμενο σχήμα.
Από τη σχέση (1) έχουμε ότι οι υπερβολές είναι περιβάλλουσες της C_f.
Από τη C_f έχουμε ότι όταν x \to 0, τότε \dfrac{\eta\mu x}{x} \to 1 ή \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\eta\mu x}{x} = 1.

Βιβλιογραφία:

Μπάρλας, Άλγεβρα β. Λυκείου, εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *