ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ

Print Friendly, PDF & Email

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Σχόλιο
Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}) είναι οι:
i) Η κατακόρυφη ευθεία για την οποία ΔΕΝ ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης (\epsilon):\mathrm{x} = \mathrm{x}_{0}
ii) και οι ευθείες οι οποίες έχουν συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) (\epsilon):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{0} = \lambda (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0}).

Λύση
Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο O(0,0) είναι της μορφής:

    \[(\epsilon_{1}): \mathrm{x} = 0\,\, \text{ ή}\,\, (\epsilon_{2}): \mathrm{y} - 0 = \lambda (\mathrm{x} - 0) \Leftrightarrow \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x}.\]

\bullet Αν είναι (\epsilon_{1}): \mathrm{x} = 0 \Leftrightarrow \mathrm{x} + 0 \cdot \mathrm{y} - 0 = 0,
με A_{1}=1,\,\, B_{1}=0, \,\, \Gamma_{1}=0. Εξετάζουμε αν η ευθεία (\epsilon_{1}) απέχει απο το σημείο Α(-1,3)} απόσταση ίση με 1, τότε:

    \[d(A,\epsilon_{1}) = \frac{\vert Α_{1}\cdot x_{A}+B_{1}\cdot y_{A}+\Gamma_{1} \rvert}{\sqrt{ Α_{1}^{2} + B_{1}^{2}}}\]

    \[d(A,\epsilon_{1}) = \frac{\vert -1 + 0 \cdot 3 - 0 \rvert}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = \frac{\lvert -1 \rvert}{1} = 1\]

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ

Άρα η ευθεία (\epsilon_{1}): \mathrm{x} = 0 είναι λύση του προβλήματος.
\bullet Αν είναι (\epsilon_{2}): \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} \Leftrightarrow (\epsilon_{2}):\lambda \mathrm{x} - \mathrm{y} + 0 = 0, με A_{2}=\lambda,\,\, B_{2}=-1, \,\, \Gamma_{2}=0. Αφού από υπόθεση η ευθεία (\epsilon_{2}) απέχει απο το σημείο Α(-1,3)} απόσταση ίση με 1, τότε:

    \[d(A,\epsilon_{2}) = \frac{\vert Α_{2}\cdot x_{A}+B_{2}\cdot y_{A}+\Gamma_{2} \rvert}{\sqrt{ Α_{2}^{2} + B_{2}^{2}}}\]

    \[d(A,\epsilon) = 1 \Leftrightarrow \frac{\lvert \lambda (-1) - 3 \rvert}{\sqrt{\lambda^{2} + 1}} = 1 \Leftrightarrow\]

    \[\lvert -\lambda - 3 \rvert = \sqrt{\lambda^{2} + 1} \Leftrightarrow\]

    \[\lvert \lambda + 3 \rvert = \sqrt{\lambda^{2} + 1} \Leftrightarrow\]

    \[\lvert \lambda + 3 \rvert^{2} = \sqrt{\lambda^{2} + 1}^{2} \Leftrightarrow\]

    \[(\lambda + 3)^{2} = \lambda^{2} + 1 \Leftrightarrow\]

    \[\lambda^{2} + 6\lambda + 9 = \lambda^{2} + 1 \Leftrightarrow\]

    \[6\lambda = -8 \Leftrightarrow \lambda = -\frac{4}{3}\]

Άρα είναι \epsilon: \mathrm{y} = -\frac{4}{3}\mathrm{x}.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *