ΧΟΡΔΗ ΚΥΚΛΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

ΧΟΡΔΗ ΚΥΚΛΟΥ

Rendered by QuickLaTeX.com



ΛΥΣΗ

α)
Για να υπολογίσουμε την εξίσωση του κύκλου θα πρέπει να γνωρίζουμε την το κέντρο του K και την ακτίνα \rho.

Επίσης γνωρίζουμε ότι η μεσοκάθετος της χορδής διέρχεται απο το το κέντρο του κύκλου.

Το κέντρο Κ του κύκλου ανήκει στη μεσοκάθετη (\mu) της χορδής ΑΒ.

Η μεσοκάθετος (\mu), είναι η ευθεία που διέρχεται απο το σημείο \Lambda (μέσο της χορδής) και είναι κάθετη στη χορδή AB.

Για τις συντεταγμένες του μέσου \Lambda(x_{\Lambda},y_{\Lambda}) του ΑΒ έχουμε:

 

    •  \mathrm{x}_{\Lambda} = \dfrac{\mathrm{x}_{A} + \mathrm{x}_{B}}{2} = \dfrac{-2 + 2}{2} = 0,

 

    •  \mathrm{y}_{\Lambda} = \dfrac{\mathrm{y}_{A} + \mathrm{y}_{B}}{2} = \dfrac{3 + 5}{2} = \dfrac{8}{2} = 4.
Ημεσοκάθετος της χορδής ενός κύκλου διέρχεται από το κέντρο Κ του κύκλου.

Άρα είναι \Lambda(0, 4).

Επίσης:

    \[\lambda_{AB} = \frac{\mathrm{y}_{B} - \mathrm{y}_{A}}{\mathrm{x}_{B} - \mathrm{x}_{A}} = \frac{5 - 3}{2 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

Άρα έχουμε:

    \[(\mu) \perp AB \Leftrightarrow \lambda_{\mu}\lambda_{AB} = - 1 \Leftrightarrow \lambda_{\mu} \cdot \frac{1}{2} = - 1 \Leftrightarrow \lambda_{\mu} = -2\]

Επομένως για την εξίσωση της ευθείας (\mu) ισχύει:

    \[\Lambda (0,4)\in (\mu):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{\Lambda} = \lambda_{_{\mu}}(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{\Lambda})\]

    \[(\mu):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{\Lambda} = -2(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{\Lambda}) \Leftrightarrow\]

    \[(\mu):\mathrm{y} - 4 = -2 (\mathrm{x} - 0) \Leftrightarrow\]

    \[(\mu):\mathrm{y} = -2\mathrm{x} + 4\]

Το κέντρο Κ του κύκλου (C) είναι το σημείο τομής των ευθειών (\epsilon) και (\mu) και έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος.
Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των δύο ευθειών:

    \[\left\{\begin{array}{c}{(\mu):\mathrm{y} = -2 \mathrm{x} + 4} \\ {(\epsilon): 3 \mathrm{x} - 4 \mathrm{y} + 5 = 0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{y} = -2 \mathrm{x}+ 4} \\ {3 \mathrm{x} - 4(-2 \mathrm{x} + 4) + 5 = 0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} \mathrm{y}=-2 \mathrm{x} + 4 \\ 3 \mathrm{x} + 8 \mathrm{x} - 16 + 5 = 0 \end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{y}=-2 \mathrm{x} + 4} \\ {\mathrm{x}=1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = 2} \\ {\mathrm{x} = 1}\end{array}\right.\]

Άρα το κέντρο του κύκλου (C) είναι το K(1, 2).

Έυρεση της ακτίνας:
Η ακτίνα του κύκλου C θα ισούται με την απόσταση του K(1, 2). από το Α(-2,3).
Tην ακτίνα θα την υπολογίσουμε απο τον τύπο της απόστασης δύο σημείων

    \begin{align*} \rho = KA &= \sqrt{(x_A -x_K)^{2} + (y_A - y_K)^{2}}\\ &= \sqrt{(1 + 2)^{2} + (2 - 3)^{2}} \\ &= \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}. \end{align*}

Επομένως η εξίσωση του κύκλου (C) είναι:

    \[(C): (x-x_K)^{2}+(y-y_{K})^{2}=\rho^{2}\]

    \[(C):(\mathrm{x} - 1)^{2} + (\mathrm{y} - 2)^{2} = \sqrt{10}^{2}\]

    \[(C): (\mathrm{x} - 1)^{2} + (\mathrm{y} - 2)^{2} = 10.\]

β) Έστω {\boldsymbol{(\zeta)}} η ζητούμενη ευθεία, η οποία ορίζει στον κύκλο (C) χορδή \Gamma\Delta μήκους 6.
Αν φέρουμε το απόστημα ΚΕ της \Gamma\Delta, τότε είναι \Gamma E = E \Delta = 3.

Απόστημα ενός κύκλου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ξεκινά απο το κέντσο Κ του κυκλου και τέμνει τη χορδή του κύκλου κάθετα.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο Κ \Gamma E έχουμε:

    \[KE^{2} = K\Gamma^{2} - \Gamma E^{2} \Leftrightarrow ΚΕ^{2} = \sqrt{10}^{2} - 3^{2}\]

    \[\Leftrightarrow KE^{2} = 1 \Leftrightarrow KE = 1.\]

Επίσης είναι:

    \[(\epsilon) \parallel (\zeta) \Leftrightarrow \lambda_{\zeta} = \lambda_{\epsilon}\]

    \[\Leftrightarrow \lambda_{\zeta} = \frac{3}{4}.\]

Άρα η εξίσωση της ευθείας (\zeta) είναι της μορφής:

    \[(\zeta): \mathrm{y} = \frac{3}{4}\mathrm{x} + \beta \Leftrightarrow 4\mathrm{y} = 3\mathrm{x} + 4\beta \Leftrightarrow 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 4\beta = 0\]

Το \beta θα το βρουμε από την απόσταση σημείου από ευθεία

αφου για την ευθεία (\zeta) ισχύει ότι:

    \[d(K,\zeta) = KE \Leftrightarrow d(K,\zeta) = 1 \Leftrightarrow\]

    \[\Leftrightarrow \frac{\lvert3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 4\beta \rvert}{\sqrt{3^{2} + (-4)^{2}}} = 1 \Leftrightarrow\]

    \[\Leftrightarrow \frac{\lvert 4 \beta - 5 \rvert}{5} = 1 \Leftrightarrow\]

    \[\Leftrightarrow \lvert 4 \beta -5 \rvert = 5 \Leftrightarrow\]

    \[(4\beta - 5 = 5 \quad \text{ή}\quad 4\beta - 5 = - 5) \Leftrightarrow\]

    \[(\beta = \frac{10}{4}\quad \text{ή}\quad \beta = 0)\]

Επομένως υπάρχουν δύο ευθείες με τη ζητούμενη ιδιότητα:

    \[(\zeta): 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 10 =0\]

και

    \[(\zeta)': 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} = 0\]

γ) Έστω \Pi\Sigma η ζητούμενη χορδή.
Απο τον τύπο της απόστασης δύο σημείων βρίσκουμε τον τύπο της απόστασης του σημείου
K(1,2) από το M(-1,3)
Έχουμε:

    \[ΚΜ = \sqrt{(1 + 1)^{2} + (2 - 3)^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\]

Το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα, το κέντρο Κ του κύκλου και Μ, το μέσο της χορδής, τέμνει τη χορδή καθέτως και ονομάζεται απόστημα.

\begin{figure}[h]

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΚΜ\Pi έχουμε:

    \[\Pi M^{2} = K\Pi^{2} - KM^{2} \Leftrightarrow\]

    \[\Pi M^{2} = \sqrt{10}^{2} - \sqrt{5}^{2} \Leftrightarrow\]

    \[\Pi M^{2} = 5 \Leftrightarrow \Pi M = \sqrt{5}\]

Άρα το μήκος της χορδής \Pi \Sigma είναι:

    \[\Pi \Sigma = 2\Pi M = 2\sqrt{5}\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.



Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *