ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΝΩΣΤΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ
Η απόσταση των σημείων $A(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)$ και $B(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2)$ του Καρτεσιανού επιπέδου είναι ίση με:

$AB=\sqrt{{(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1)}^2+{(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)}^2}$

Απόδειξη

Η απόσταση δύο σημείων AB είνα ίση με το μέτρο του διανύσματος που ορίζουν.

Η απόσταση $(AB)$ των σημείων $A(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)$ και $B(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2)$ είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος $\overrightarrow{AB}.$
Όμως είναι:

$\overrightarrow{AB}=(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)$

Επομένως έχουμε:

$\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1)}^2+{(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)}^2}$

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ

α) Η απόσταση των σημείων $A(-1,6)$ και $Β(-9,-2)$ του επιπέδου υπολογίζεται ως εξής:

$\begin{align*} (AB) & = \sqrt{{(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1)}^2+{(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)}^2}\\\\ & = \sqrt{\big(-9 -(-1)\big)^{2} + (-2 -6)^{2}}\\\\ & = \sqrt{(9+1)^{2}+(-8)^{2}}\\\\ & = \sqrt{10^{2} + 8^{2}}\\\\ & = \sqrt{100 + 64}\\\\ & = \sqrt{164}. \end{align*}$

Δηλαδή η απόσταση των σημείων $A(-1,6)$ και $Β(-9,-2)$ είναι:

$(AB) = \sqrt{164}.$

β) Έστω $Μ(\mathrm{x},0)$ το σημείο του άξονα $x'x$ που ισαπέχει από τα σημεία $A(-1,6)$ και $Β(-9,-2)$ . Τότε έχουμε:

$\begin{align*} & (ΜΑ)=(ΜΒ) \Leftrightarrow \\\\ &|\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}| \Leftrightarrow \\\\ &{|\overrightarrow{MA}|}^2={|\overrightarrow{MB}|}^2 \Leftrightarrow \\\\ &\sqrt{(\mathrm{x}+1)^2+6^2}^2=\sqrt{(\mathrm{x}+9)^2+2^2}^2 \Leftrightarrow \\\\ &\mathrm{x^2}+2\mathrm{x}+1+36=\mathrm{x^2}+18\mathrm{x}+81+4 \Leftrightarrow \\\\ &16\mathrm{x}=-48 \Leftrightarrow \\\\ &\mathrm{x}=-3. \end{align*}$

Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το $Μ(-3,0)$
γ) Έστω $Ν(0,\mathrm{y})$ το ζητούμενο σημείο του άξονα $y'y$ που ισαπέχει από τα σημεία $A(-1,6)$ και $Β(-9,-2)$ . Τότε έχουμε:

$\begin{align*} & (NΑ)=(NΒ) \Leftrightarrow \\\\ &|\overrightarrow{NA}|=|\overrightarrow{NB}| \Leftrightarrow \\\\ &{|\overrightarrow{NA}|}^2={|\overrightarrow{NB}|}^2 \Leftrightarrow\\\\ &\sqrt{1^2+(\mathrm{y}-6)^2}^2=\sqrt{9^2+(\mathrm{y}+2)^2}^2 \Leftrightarrow\\\\ &1+\mathrm{y^2}-12\mathrm{y}+36=81+\mathrm{y^2}+4\mathrm{y}+4 \Leftrightarrow \\\\ &16\mathrm{y}=48 \Leftrightarrow \\\\ &\mathrm{y}=-3. \end{align*}$

Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το $N(0,-3)$

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

1.) Να βρεθεί η απόσταση των σημείων του καρτεσιανού επιπέδου με συντεταγμένες $A(4,-3)$ και $B(-2,1).$
2.) Να βρεθεί το σημείο του άξονα $x'x$ το οποίο ισαπεχει απο τα σημεία $A(3,-1)$ και $B(-1,4).$
3.) Να βρεθεί το σημείο του άξονα $y'y$ το οποίο ισαπεχει απο τα σημεία $A(-2,-1)$ και $B(1,-1).$