ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1255 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1255 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο $x^2 - x - 6$ έχει $\alpha = 1, ~\beta = -1, ~\gamma = -6$ και διακρίνουσα:

$\Delta = \beta^2 - 4\alpha \gamma \Leftrightarrow$

$\Delta =(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) \Leftrightarrow$

$\Delta =1 + 24 = 25 > 0$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \Leftrightarrow$

$x_{1, 2} =\dfrac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} \Leftrightarrow$

$x_{1, 2} =\dfrac{1 \pm 5}{2} \Leftrightarrow$

$x_{1, 2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1 + 5}{2} = 3\\[5mm] \dfrac{1 - 5}{2} = -2 \end{array}\right.$

Οπότε για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f.$ με

$f(x) = \dfrac{x + 2}{x^2 - x - 6}$

Πρέπει:

$x^2 - x - 6 \neq 0 \Leftrightarrow$

$(x \neq -2 \quad \text{και} \quad x \neq 3)$

Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το $\mathbb{Α} = \mathbb{R} - \{-2, 3\}.$

2.)Είναι:

$f(2) = \dfrac{2 + 2}{2^2 - 2 - 6} = \dfrac{4}{4 - 2 - 6} = \dfrac{4}{-4} = -1$

και

$f(4) = \dfrac{4 + 2}{4^2 - 4 - 6} = \dfrac{6}{16 - 4 - 6} = \dfrac{6}{6} = 1$

Άρα:

$f(2) + f(4) = -1 + 1 = 0$

Ν. Α. Διακόπουλος